Duas curvas alpha(t) e beta(t) são ditas curvas de Bertrand se em pontos correspondentes têm a mesma reta normal. Prove que
a) a distância entre pontos correspondentes é constante;
b) o ângulo entre as retas tangentes de pontos correspondentes é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas curvas, chamadas alpha(t) e beta(t), que são curvas de Bertrand. Isso significa que, em pontos que correspondem umas às outras, elas têm a mesma reta normal. Nosso objetivo aqui é provar duas coisas:
a) A distância entre esses pontos correspondentes é sempre a mesma.
b) O ângulo entre as retas tangentes desses pontos correspondentes é constante.
Para resolver isso, vamos precisar entender de geometria diferencial das curvas, especialmente conceitos como vetor normal, vetor tangente e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma reta normal e uma reta tangente em uma curva. A reta tangente em um ponto de uma curva é a linha que melhor “segue” a curva nesse ponto, enquanto a reta normal é perpendicular à reta tangente nesse mesmo ponto. Em curvas de Bertrand, essas retas normais coincidem em pontos correspondentes das duas curvas, ou seja, têm a mesma direção.

Passo 3

Vamos começar pelo item a): provar que a distância entre os pontos correspondentes das curvas alpha(t) e beta(t) é constante. Para isso, consideramos que a distância d pode ser expressa como:
d = |alpha(t) - beta(t)|
Queremos mostrar que essa distância não depende de t, ou seja, sua derivada em relação a t é zero.

Passo 4

Calculando a derivada de d em relação a t:
ddtd = ddt|alpha(t) - beta(t)| = (alpha(t) - beta(t)) cdot (alpha'(t) - beta'(t))|alpha(t) - beta(t)|
Nós queremos mostrar que essa derivada é igual a zero.

Passo 5

Sabemos que as curvas são de Bertrand, ou seja, as retas normais são as mesmas. Isso significa que o vetor alpha(t) - beta(t) é paralelo à reta normal. Além disso, os vetores tangentes alpha'(t) e beta'(t) são tangentes às curvas nos pontos correspondentes.

Passo 6

Como alpha(t) - beta(t) está na direção da reta normal, e as retas tangentes são perpendiculares às retas normais, o produto escalar (alpha(t) - beta(t)) cdot (alpha'(t) - beta'(t)) será zero, já que temos ortogonalidade.

Passo 7

Portanto, a derivada da distância d em relação a t é zero:
ddtd = 0
Isso significa que d é constante, independentemente do valor de t.

Resposta

A distância entre os pontos correspondentes das curvas alpha(t) e beta(t) �� constante.

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