Duas curvas e são ditas curvas de Bertrand se em pontos correspondentes têm a mesma reta normal. Prove que
a) a distância entre pontos correspondentes é constante;
b) o ângulo entre as retas tangentes de pontos correspondentes é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas curvas, chamadas e , que são curvas de Bertrand. Isso significa que, em pontos que correspondem umas às outras, elas têm a mesma reta normal. Nosso objetivo aqui é provar duas coisas:
a) A distância entre esses pontos correspondentes é sempre a mesma.
b) O ângulo entre as retas tangentes desses pontos correspondentes é constante.
Para resolver isso, vamos precisar entender de geometria diferencial das curvas, especialmente conceitos como vetor normal, vetor tangente e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma reta normal e uma reta tangente em uma curva. A reta tangente em um ponto de uma curva é a linha que melhor “segue” a curva nesse ponto, enquanto a reta normal é perpendicular à reta tangente nesse mesmo ponto. Em curvas de Bertrand, essas retas normais coincidem em pontos correspondentes das duas curvas, ou seja, têm a mesma direção.
Passo 3
Vamos começar pelo item a): provar que a distância entre os pontos correspondentes das curvas e é constante. Para isso, consideramos que a distância pode ser expressa como:
Queremos mostrar que essa distância não depende de , ou seja, sua derivada em relação a é zero.
Passo 4
Calculando a derivada de em relação a :
Nós queremos mostrar que essa derivada é igual a zero.
Passo 5
Sabemos que as curvas são de Bertrand, ou seja, as retas normais são as mesmas. Isso significa que o vetor é paralelo à reta normal. Além disso, os vetores tangentes e são tangentes às curvas nos pontos correspondentes.
Passo 6
Como está na direção da reta normal, e as retas tangentes são perpendiculares às retas normais, o produto escalar será zero, já que temos ortogonalidade.
Passo 7
Portanto, a derivada da distância em relação a é zero:
Isso significa que é constante, independentemente do valor de .
Resposta
A distância entre os pontos correspondentes das curvas e �� constante.