Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço de quatro dimensões, , cada um definido por um ponto inicial e dois vetores que geram o plano. A pergunta é: em qual ponto esses dois planos se cruzam? Especificamente, queremos descobrir o valor da primeira coordenada desse ponto, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada plano é definido. O primeiro plano é dado por:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
Onde e são escalares.
Passo 3
O segundo plano é:
Então, qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
Onde e são escalares.
Passo 4
Para encontrar o ponto de interseção, precisamos igualar as duas expressões:
Isso nos dá um sistema de equações onde cada coordenada deve ser igual:
(para )
(para )
(para )
(para )
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, vamos simplificar cada equação:
Agora, temos quatro equações com quatro incógnitas (, , , ). Podemos usar métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores dessas incógnitas.
Passo 6
Para simplificar, começaremos isolando uma variável em uma das equações. Vamos começar com a equação 2:
Podemos isolar :
Agora, substituímos essa expressão de nas outras equações.
Passo 7
Substituindo na equação 1:
Simplificando:
Vamos chamar essa de Equação A:
Passo 8
Substituindo na equação 3:
Simplificando:
Chama-se Equação B:
Passo 9
Substituindo na equação 4:
Simplificando:
Dividindo tudo por 2:
Chama-se Equação C:
Passo 10
Agora, temos três equações:
A:
B:
C:
Vamos resolver esse sistema. Podemos começar expressando uma variável em termos das outras. Vamos, por exemplo, resolver a Equação C para :
Agora, substituímos essa expressão de na Equação A e B.
Passo 11
Substituindo na Equação A:
Simplificando:
Chama-se Equação D:
Passo 12
Agora, substituindo na Equação B:
Simplificando:
Chama-se Equação E:
Passo 13
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
D:
E:
Podemos resolver esse sistema multiplicando as equações para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação D por 5 e a Equação E por 3:
(Equação D multiplicada por 5)
(Equação E multiplicada por 3)
Somando as duas equações:
Passo 14
Agora que temos , vamos substituir esse valor na Equação D para encontrar :
Passo 15
Com e , vamos voltar para a expressão de que encontramos anteriormente:
Substituindo os valores:
Passo 16
Agora, sabemos que , e . Vamos encontrar usando a expressão que encontramos no Passo 6:
Substituindo:
Passo 17
Finalmente, com todos os parâmetros encontrados (, , , ), vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção. Vamos usar a expressão do primeiro plano: