Considere os seguintes planos em :
Calcule o ponto em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada é:
(A) 4
(B) 5
© 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço de quatro dimensões, , cada um definido por um ponto inicial e dois vetores que geram o plano. A pergunta é: em qual ponto esses dois planos se cruzam? Especificamente, queremos descobrir o valor da primeira coordenada desse ponto, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada plano é definido. O primeiro plano é dado por:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
Onde e são escalares.

Passo 3

O segundo plano é:
Então, qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
Onde e são escalares.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos igualar as duas expressões:
Isso nos dá um sistema de equações onde cada coordenada deve ser igual:
  1. (para )
  2. (para )
  3. (para )
  4. (para )

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, vamos simplificar cada equação:
Agora, temos quatro equações com quatro incógnitas ( , , , ). Podemos usar métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores dessas incógnitas.

Passo 6

Para simplificar, começaremos isolando uma variável em uma das equações. Vamos começar com a equação 2:
Podemos isolar :
Agora, substituímos essa expressão de nas outras equações.

Passo 7

Substituindo na equação 1:
Simplificando:
Vamos chamar essa de Equação A:

Passo 8

Substituindo na equação 3:
Simplificando:
Chama-se Equação B:

Passo 9

Substituindo na equação 4:
Simplificando:
Dividindo tudo por 2:
Chama-se Equação C:

Passo 10

Agora, temos três equações:
A:
B:
C:
Vamos resolver esse sistema. Podemos começar expressando uma variável em termos das outras. Vamos, por exemplo, resolver a Equação C para :
Agora, substituímos essa expressão de na Equação A e B.

Passo 11

Substituindo na Equação A:
Simplificando:
Chama-se Equação D:

Passo 12

Agora, substituindo na Equação B:
Simplificando:
Chama-se Equação E:

Passo 13

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
D:
E:
Podemos resolver esse sistema multiplicando as equações para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação D por 5 e a Equação E por 3:
(Equação D multiplicada por 5)
(Equação E multiplicada por 3)
Somando as duas equações:

Passo 14

Agora que temos , vamos substituir esse valor na Equação D para encontrar :

Passo 15

Com e , vamos voltar para a expressão de que encontramos anteriormente:
Substituindo os valores:

Passo 16

Agora, sabemos que , e . Vamos encontrar usando a expressão que encontramos no Passo 6:
Substituindo:

Passo 17

Finalmente, com todos os parâmetros encontrados ( , , , ), vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção. Vamos usar a expressão do primeiro plano:
Calculando:

Resposta

O valor da entrada é 4 (Alternativa A).

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Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis e . Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em ?
(A)

(B)

©

(D)
(E)

(F)

(G) Não sei
Verifique que, se uma curva regular tem a curvatura e torção , onde e são constantes, então a curva admite uma parametrização da forma
onde e são funções de e .
) Dados os subespaços vetoriais do ou , determinar o conjunto gerador
Seja

uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por as coordenadas de com relação à base , calcule o valor de .
(A) 2
(B) -4
© -1
(D) 3
(E) -3
(F) 1
(G) -2
(H) 4
(I) Não sei