Considere os seguintes planos em R^4 :
[r 0 3 8 -9 ]+span[r -2 2 -1 -2 ],[r 2 1 -1 -3 ] e
[r 5 -2 6 -2 ]+span[r 1 0 3 -2 ],[r -3 1 -2 1 ]
Calcule o ponto (x1, x2, x3, x4) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x1 é:
(A) 4
(B) 5
© 6
(D) 7
(E) 8
(F) 9
(G) 10
(H) 11
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois planos no espaço de quatro dimensões, R^4, cada um definido por um ponto inicial e dois vetores que geram o plano. A pergunta é: em qual ponto esses dois planos se cruzam? Especificamente, queremos descobrir o valor da primeira coordenada desse ponto, ou seja, x1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada plano é definido. O primeiro plano é dado por:
P = 0 3 8 -9 + span -2 2 -1 -2 , 2 1 -1 -3
Isso significa que qualquer ponto no plano P pode ser escrito como:
P = 0 3 8 -9 + s -2 2 -1 -2 + t 2 1 -1 -3
Onde s e t são escalares.

Passo 3

O segundo plano é:
Q = 5 -2 6 -2 + span 1 0 3 -2 , -3 1 -2 1
Então, qualquer ponto no plano Q pode ser escrito como:
Q = 5 -2 6 -2 + u 1 0 3 -2 + v -3 1 -2 1
Onde u e v são escalares.

Passo 4

Para encontrar o ponto de interseção, precisamos igualar as duas expressões:
0 3 8 -9 + s -2 2 -1 -2 + t 2 1 -1 -3 = 5 -2 6 -2 + u 1 0 3 -2 + v -3 1 -2 1
Isso nos dá um sistema de equações onde cada coordenada deve ser igual:
  1. 0 - 2s + 2t = 5 + u - 3v (para x1)
  2. 3 + 2s + t = -2 + 0u + v (para x2)
  3. 8 - s - t = 6 + 3u - 2v (para x3)
  4. -9 - 2s - 3t = -2 - 2u + v (para x4)

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, vamos simplificar cada equação:
  1. -2s + 2t - u + 3v = 5
  2. 2s + t - v = -5
  3. -s - t - 3u + 2v = -2
  4. -2s - 3t + 2u - v = 7
Agora, temos quatro equações com quatro incógnitas ( s, t, u, v). Podemos usar métodos como substituição ou eliminação para encontrar os valores dessas incógnitas.

Passo 6

Para simplificar, começaremos isolando uma variável em uma das equações. Vamos começar com a equação 2:
2s + t - v = -5
Podemos isolar t:
t = -5 - 2s + v
Agora, substituímos essa expressão de t nas outras equações.

Passo 7

Substituindo t = -5 - 2s + v na equação 1:
-2s + 2(-5 - 2s + v) - u + 3v = 5
Simplificando:
-2s -10 -4s + 2v - u + 3v = 5
-6s + 5v - u = 15
Vamos chamar essa de Equação A:
-6s + 5v - u = 15

Passo 8

Substituindo t = -5 - 2s + v na equação 3:
-s - (-5 - 2s + v) - 3u + 2v = -2
Simplificando:
-s +5 +2s -v -3u +2v = -2
s + v -3u = -7
Chama-se Equação B:
s + v -3u = -7

Passo 9

Substituindo t = -5 - 2s + v na equação 4:
-2s -3(-5 -2s +v) + 2u -v =7
Simplificando:
-2s +15 +6s -3v +2u -v =7
4s -4v +2u = -8
Dividindo tudo por 2:
2s -2v +u = -4
Chama-se Equação C:
2s -2v +u = -4

Passo 10

Agora, temos três equações:
A: -6s +5v -u =15
B: s +v -3u =-7
C: 2s -2v +u =-4
Vamos resolver esse sistema. Podemos começar expressando uma variável em termos das outras. Vamos, por exemplo, resolver a Equação C para u:
u = -4 -2s +2v
Agora, substituímos essa expressão de u na Equação A e B.

Passo 11

Substituindo u = -4 -2s +2v na Equação A:
-6s +5v - (-4 -2s +2v) =15
Simplificando:
-6s +5v +4 +2s -2v =15
-4s +3v =11
Chama-se Equação D:
-4s +3v =11

Passo 12

Agora, substituindo u = -4 -2s +2v na Equação B:
s +v -3(-4 -2s +2v) =-7
Simplificando:
s +v +12 +6s -6v =-7
7s -5v =-19
Chama-se Equação E:
7s -5v =-19

Passo 13

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
D: -4s +3v =11
E: 7s -5v =-19
Podemos resolver esse sistema multiplicando as equações para eliminar uma das variáveis. Vamos multiplicar a Equação D por 5 e a Equação E por 3:
-20s +15v =55 (Equação D multiplicada por 5)
21s -15v =-57 (Equação E multiplicada por 3)
Somando as duas equações:
(-20s +21s) + (15v -15v) =55 -57
s = -2

Passo 14

Agora que temos s = -2, vamos substituir esse valor na Equação D para encontrar v:
-4(-2) +3v =11
8 +3v =11
3v =3
v =1

Passo 15

Com s = -2 e v =1, vamos voltar para a expressão de u que encontramos anteriormente:
u = -4 -2s +2v
Substituindo os valores:
u = -4 -2(-2) +2(1)
u = -4 +4 +2
u =2

Passo 16

Agora, sabemos que s = -2, v =1 e u =2. Vamos encontrar t usando a expressão que encontramos no Passo 6:
t = -5 -2s +v
Substituindo:
t = -5 -2(-2) +1
t = -5 +4 +1
t =0

Passo 17

Finalmente, com todos os parâmetros encontrados ( s = -2, t =0, u =2, v =1), vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção. Vamos usar a expressão do primeiro plano:
P = 0 3 8 -9 + (-2) -2 2 -1 -2 + 0 2 1 -1 -3
Calculando:
P = 0 3 8 -9 + 4 -4 2 4 + 0 0 0 0 = 4 -1 10 -5

Resposta

O valor da entrada x1 é 4 (Alternativa A).

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