Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis e . Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em ?
(F)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão tá pedindo pra gente ver em qual das opções apresentadas, os conjuntos de soluções de dois sistemas lineares têm dimensão 1, ou seja, eles formam retas no espaço tridimensional, . Vamos precisar usar conceitos de sistemas de equações lineares e entender como determinar a dimensão do conjunto solução de cada sistema.
Passo 2
Vamos começar analisando o primeiro sistema:
36x + 8z = 12, 45x + 10z = 15
Primeiro, a gente pode tentar simplificar essas equações. Observando os coeficientes, percebe-se que podemos dividir a primeira equação por 4 e a segunda por 5 para facilitar:
9x + 2z = 3, 9x + 2z = 3
Olha só, depois de simplificar, as duas equações ficaram idênticas! Isso significa que na verdade temos apenas uma equação representando duas restrições. Portanto, temos infinitas soluções para esse sistema, já que uma variável pode ser livre. No espaço tridimensional, isso forma uma reta, que é um conjunto solução de dimensão 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar o segundo sistema:
4x + 8y + 6z = 5, 2x + 3y = 7, -8x - 12y = -28
Primeiro, vamos simplificar as últimas duas equações:
A segunda equação já está simples: -8x - 12y = -28 div (-4) Rightarrow 2x + 3y = 7 .
A terceira equação pode ser dividida por 4x + 8y + 6z = 5, 2x + 3y = 7 :
2x + 3y = 7 Rightarrow x = 7 - 3y2
Agora, notamos que a segunda e a terceira equações são iguais, então o sistema realmente tem apenas duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos isolar uma das variáveis, por exemplo, :
Substituindo na primeira equação:
Agora, sabemos que e são expressos em função de , que é uma variável livre. Portanto, existe uma infinitas soluções para esse sistema, e o conjunto solução também forma uma reta no espaço tridimensional, ou seja, tem dimensão 1.
Resposta
A opção (F) é a que possui ambos os sistemas com conjuntos-solução de dimensão 1, formando retas em .