Nos itens abaixo, temos as formas escalonadas das matrizes ampliadas de oito sistemas lineares. Apresente a solução geral de cada sistema.
c) [cccccc1 & -6 & 0 & 0 & 3 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 7 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 8 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente recebeu a forma escalonada da matriz ampliada de um sistema linear e precisamos encontrar a solução geral desse sistema. Isso envolve entender quais são as variáveis livres e dependentes e como expressá-las de maneira que todas as soluções possíveis sejam consideradas.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a matriz ampliada que nos foi dada:
1 & -6 & 0 & 0 & 3 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 7 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 8 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
Aqui, as primeiras cinco colunas representam os coeficientes das variáveis e , enquanto a última coluna é o termo constante de cada equação.

Passo 3

Vamos identificar quais variáveis são dependentes e quais são livres:
  • Variáveis Dependentes: São aquelas que têm um coeficiente líder (ou seja, um 1) em apenas uma linha e zero nas outras colunas correspondentes. No nosso caso, temos:
    • na primeira linha
    • na segunda linha
    • na terceira linha
  • Variáveis Livres: São aquelas que não têm um coeficiente líder. No caso, temos:

Passo 4

Agora, vamos expressar as variáveis dependentes em função das variáveis livres. Primeiro, definimos as variáveis livres como parâmetros:
x2 = s e x5 = t
Onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 5

Substituímos esses parâmetros nas equações para encontrar as expressões das variáveis dependentes:
  1. Primeira Equação:
    x1 - 6x2 + 3x5 = -2 Rightarrow x1 = 6s - 3t - 2
  2. Segunda Equação:
    x3 + 4x5 = 7 Rightarrow x3 = 7 - 4t
  3. Terceira Equação:
    x4 + 5x5 = 8 Rightarrow x4 = 8 - 5t

Passo 6

Agora, juntando todas as expressões, temos a solução geral do sistema:
x1 = 6s - 3t - 2 x2 = s x3 = 7 - 4t x4 = 8 - 5t x5 = t
Onde e são números reais qualquer.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1 = 6s - 3t - 2 x2 = s x3 = 7 - 4t x4 = 8 - 5t x5 = t
Onde e são números reais quaisquer.

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