Nos itens abaixo, temos as formas escalonadas das matrizes ampliadas de oito sistemas lineares. Apresente a solução geral de cada sistema.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente recebeu a forma escalonada da matriz ampliada de um sistema linear e precisamos encontrar a solução geral desse sistema. Isso envolve entender quais são as variáveis livres e dependentes e como expressá-las de maneira que todas as soluções possíveis sejam consideradas.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a matriz ampliada que nos foi dada:
Aqui, as primeiras cinco colunas representam os coeficientes das variáveis e , enquanto a última coluna é o termo constante de cada equação.
Passo 3
Vamos identificar quais variáveis são dependentes e quais são livres:
Variáveis Dependentes: São aquelas que têm um coeficiente líder (ou seja, um 1) em apenas uma linha e zero nas outras colunas correspondentes. No nosso caso, temos:
na primeira linha
na segunda linha
na terceira linha
Variáveis Livres: São aquelas que não têm um coeficiente líder. No caso, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar as variáveis dependentes em função das variáveis livres. Primeiro, definimos as variáveis livres como parâmetros:
x2 = s e x5 = t
Onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 5
Substituímos esses parâmetros nas equações para encontrar as expressões das variáveis dependentes:
Primeira Equação:
x1 - 6x2 + 3x5 = -2 Rightarrow x1 = 6s - 3t - 2
Segunda Equação:
x3 + 4x5 = 7 Rightarrow x3 = 7 - 4t
Terceira Equação:
x4 + 5x5 = 8 Rightarrow x4 = 8 - 5t
Passo 6
Agora, juntando todas as expressões, temos a solução geral do sistema: