Sabendo que o ponto (-7,3,10, k) pertence ao plano (1,2,3,2)+span(2,-3,-1,-1),(3,1,-3,-2), assinale o valor de k :
(H) 9

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado fala que o ponto (-7, 3, 10, k) está num plano específico. Esse plano é dado por (1, 2, 3, 2) mais todas as combinações lineares dos vetores (2, -3, -1, -1) e (3, 1, -3, -2). Para resolver isso, vamos usar a teoria de espaços vetoriais e sistemas lineares. Precisamos achar o valor de k que faz esse ponto pertencer ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o ponto está no plano. Isso quer dizer que podemos escrever (-7, 3, 10, k) como (1, 2, 3, 2) mais uma combinação dos vetores (2, -3, -1, -1) e (3, 1, -3, -2). Matemáticamente, temos:
(-7, 3, 10, k) = (1, 2, 3, 2) + x(2, -3, -1, -1) + y(3, 1, -3, -2)
Aqui, x e y são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos separar cada coordenada para montar um sistema de equações:
  1. Primeira coordenada:
1 + 2x + 3y = -7
  1. Segunda coordenada:
2 - 3x + y = 3
  1. Terceira coordenada:
3 - x - 3y = 10
  1. Quarta coordenada:
2 - x - 2y = k
Nosso objetivo é resolver as três primeiras equações para encontrar x e y, e depois usar esses valores para descobrir k.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo. Primeiro, simplificamos cada equação:
  1. Primeira equação:
2x + 3y = -7 - 1 Rightarrow 2x + 3y = -8
  1. Segunda equação:
-3x + y = 3 - 2 Rightarrow -3x + y = 1
  1. Terceira equação:
-x - 3y = 10 - 3 Rightarrow -x - 3y = 7
Agora temos:
2x + 3y = -8 -3x + y = 1 -x - 3y = 7

Passo 5

Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar x e y. Da segunda equação:
-3x + y = 1 Rightarrow y = 3x + 1
Substituímos y na primeira equação:
2x + 3(3x + 1) = -8 2x + 9x + 3 = -8 11x = -11 x = -1
Agora que temos x = -1, vamos encontrar y:
y = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2

Passo 6

Com x = -1 e y = -2, vamos verificar na terceira equação para ter certeza que está tudo certo:
-(-1) - 3(-2) = 1 + 6 = 7
Confere! Agora, vamos usar esses valores para encontrar k na quarta equação:
2 - (-1) - 2(-2) = 2 + 1 + 4 = 7

Resposta

O valor de k é 7.

Exercícios relacionados