Considere os vetores u=(2,-1,1), v=(1,-1,0) e w=(-1,1,2). Determine o que se pede.
u cdot(v times w).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores e operações entre eles. A questão pede para calcular o produto escalar entre o vetor u e o produto vetorial entre os vetores v e w. Para isso, vamos precisar entender como fazer um produto vetorial e depois um produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial v times w. O produto vetorial entre dois vetores resulta num novo vetor que é perpendicular aos dois primeiros. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
v times w = i & j & k v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os componentes de v e w:
v times w = i & j & k 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
v times w = i cdot (-1 cdot 2 - 0 cdot 1) - j cdot (1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) + k cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot (-1))
Simplificando:
v times w = i cdot (-2) - j cdot (2) + k cdot (1 - 1)
v times w = (-2)i - 2j + 0k
Então, o vetor resultante é:
v times w = (-2, -2, 0)

Passo 4

Agora que temos o produto vetorial v times w = (-2, -2, 0), vamos calcular o produto escalar com o vetor u = (2, -1, 1). O produto escalar entre dois vetores é dado por:
u cdot a = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3
Onde a é o vetor resultante do produto vetorial.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
u cdot (v times w) = 2 cdot (-2) + (-1) cdot (-2) + 1 cdot 0
Calculando cada termo:
2 cdot (-2) = -4
(-1) cdot (-2) = 2
1 cdot 0 = 0

Passo 6

Somando os resultados:
-4 + 2 + 0 = -2

Resposta

O valor de u cdot (v times w) é -2.

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