Considere os vetores e . Determine o que se pede. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve vetores e operações entre eles. A questão pede para calcular o produto escalar entre o vetor e o produto vetorial entre os vetores e . Para isso, vamos precisar entender como fazer um produto vetorial e depois um produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta num novo vetor que é perpendicular aos dois primeiros. A fórmula para calcular o produto vetorial é:
Onde i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Vamos montar a matriz com os componentes de v e w:
v times w = i & j & k 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
v times w = i cdot (-1 cdot 2 - 0 cdot 1) - j cdot (1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) + k cdot (1 cdot 1 - (-1) cdot (-1))
Simplificando:
v times w = i cdot (-2) - j cdot (2) + k cdot (1 - 1)
v times w = (-2)i - 2j + 0k
Então, o vetor resultante é:
v times w = (-2, -2, 0)
Passo 4
Agora que temos o produto vetorial v times w = (-2, -2, 0), vamos calcular o produto escalar com o vetor u = (2, -1, 1). O produto escalar entre dois vetores é dado por:
u cdot a = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3
Onde a é o vetor resultante do produto vetorial.
Passo 5
Aplicando a fórmula:
u cdot (v times w) = 2 cdot (-2) + (-1) cdot (-2) + 1 cdot 0