Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em R^3 ?
© r6 x+5 y+8 z=4, -18 x-15 y-24 z=-12, 9 x+2 z=3
r18 x+15 y+24 z=12, -6 x-9 y=-21

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá dois sistemas lineares com as variáveis e . A pergunta é: em qual opção ambos os sistemas têm conjuntos de solução que são retas no espaço tridimensional , ou seja, têm dimensão 1. Para resolver isso, precisamos analisar cada sistema para ver se suas soluções formam retas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o Sistema 1:
6x + 5y + 8z = 4, -18x - 15y - 24z = -12, 9x + 2z = 3
Vamos simplificar esse sistema para ver se ele tem soluções que formam uma reta.

Passo 3

Observamos que a segunda equação é múltiplo da primeira. Se multiplicarmos a primeira equação por -3(6x + 5y + 8z) = -3 times 4 -18x -15y -24z = -12, , temos:
6x + 5y + 8z = 4, 9x + 2z = 3
que é exatamente a segunda equação do sistema. Isso significa que a segunda equação não traz nova informação, então podemos descartá-la. Isso nos deixa com duas equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema reduzido. Podemos expressar 9x + 2z = 3 Rightarrow x = 3 - 2z9 e 6(3 - 2z9) + 5y + 8z = 4 Rightarrow 18 - 12z9 + 5y + 8z = 4 Rightarrow 2 - 4z3 + 5y + 8z = 4 Rightarrow 5y + (8z - 4z3) = 2 Rightarrow 5y + 20z3 = 2 em termos de 15y + 20z = 6 Rightarrow 3y + 4z = 65 para parametrizar a solução.
Da segunda equação:
y = 65 - 4z3 = 615 - 43z = 25 - 43z
Substituindo z = t, y = 25 - 43t, x = 3 - 2t9 na primeira equação:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar frações:
Então, podemos expressar em termos de :
Portanto, podemos escolher como parâmetro livre, digamos , e escrever as soluções como:
Isso mostra que as soluções formam uma reta no espaço .

Passo 5

Agora, vamos analisar o Sistema 2:
18x + 15y + 24z = 12, -6x -9y = -21
Vamos simplificar esse sistema também.

Passo 6

Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo por -6x -9y = -21 Rightarrow 2x + 3y = 7 :
18x + 15y + 24z = 12, 2x + 3y = 7
Então, o sistema fica:

Passo 7

Vamos resolver o sistema. Podemos expressar 2x + 3y = 7 Rightarrow y = 7 - 2x3 em termos de 18x + 15(7 - 2x3) + 24z = 12 Rightarrow 18x + 5(7 - 2x) + 24z = 12 Rightarrow 18x + 35 - 10x + 24z = 12 Rightarrow 8x + 24z = -23 a partir da segunda equação:
x + 3z = -238 Rightarrow x = -238 - 3z
Substituindo y = 7 - 2(-238 - 3z)3 = 7 + 468 + 6z3 = 7 + 234 + 6z3 = 284 + 234 + 6z3 = 514 + 6z3 = 5112 + 2z = 174 + 2z na primeira equação:
z = t, y = 174 + 2t, x = -238 - 3t
Podemos dividir por 8:
Agora, substituindo na expressão para :
Portanto, novamente, podemos escolher como parâmetro livre, e as soluções são:
Isso também mostra que as soluções formam uma reta no espaço .

Resposta

Ambos os sistemas possuem conjuntos-solução que são retas em com dimensão 1.

Exercícios relacionados