Sabendo que o ponto (-7,3,10, k) pertence ao plano (1,2,3,2)+span(2,-3,-1,-1),(3,1,-3,-2), assinale o valor de k :
(F) 7

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um ponto com coordenadas (-7, 3, 10, k) que está em um plano definido por um ponto inicial (1, 2, 3, 2) e duas direções dadas pelos vetores (2, -3, -1, -1) e (3, 1, -3, -2). Nosso objetivo é descobrir qual o valor de k que faz esse ponto pertencer a esse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um ponto estar em um plano. Basicamente, se o ponto P está no plano, ele pode ser representado como o ponto inicial mais uma combinação linear das direções do plano. Ou seja:
(-7, 3, 10, k) = (1, 2, 3, 2) + s cdot (2, -3, -1, -1) + t cdot (3, 1, -3, -2)
Aqui, s e t são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos separar isso por coordenadas:
  1. Para a coordenada x: -7 = 1 + 2s + 3t
  2. Para a coordenada y: 3 = 2 - 3s + t
  3. Para a coordenada z: 10 = 3 - s - 3t
  4. Para a coordenada w: k = 2 - s - 2t
Nosso objetivo principal é achar s e t para depois descobrir k.

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Começamos com as equações das coordenadas x e y.
Primeiro, da coordenada y:
3 = 2 - 3s + t Rightarrow 3 - 2 = -3s + t Rightarrow 1 = -3s + t Rightarrow t = 3s + 1 (Equação A) çã

Passo 5

Agora, substituímos t na equação da coordenada x:
-7 = 1 + 2s + 3t Rightarrow -7 -1 = 2s + 3t Rightarrow -8 = 2s + 3t
Substituindo t da Equação A:
-8 = 2s + 3(3s + 1) -8 = 2s + 9s + 3 -8 = 11s + 3 -8 -3 = 11s -11 = 11s s = -1

Passo 6

Com s = -1, usamos a Equação A para encontrar t:
t = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2

Passo 7

Agora que temos s e t, vamos verificar a equação da coordenada z para garantir que tudo está certo:
10 = 3 - s - 3t 10 = 3 - (-1) - 3(-2) 10 = 3 +1 +6 10 = 10 ✔️
Tudo está consistente!

Passo 8

Finalmente, usamos s e t para encontrar k:
k = 2 - s - 2t k = 2 - (-1) - 2(-2) k = 2 +1 +4 k = 7

Resposta

O valor de k é 7.

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