O conjunto dos (x1, x2, x3, x4) in R^4 tais que 5 x1+x4=2 pode ser representado por:
(H) [r-2 -3 -1 12]+span[r1 0 0 -5],[r0 -6 0 0],[l0 0 4 0]

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto de vetores em que satisfazem a equação . Nosso objetivo é representar esse conjunto de uma forma específica, que envolve um vetor particular e o espaço gerado por outros vetores (span). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, especialmente sobre espaços vetoriais e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a equação que define nosso conjunto:
5x1 + x4 = 2
Essa equação relaciona apenas e , o que significa que e podem ser quaisquer números reais. Eles são chamados de variáveis livres, pois não estão restritas por essa equação.

Passo 3

Vamos isolar uma das variáveis para expressar em termos da outra. Vamos resolver para x4 = 2 - 5x1 :
(x1, x2, x3, 2 - 5x1)
Agora, podemos expressar todo vetor em termos de , e :

Passo 4

Vamos separar essa expressão em duas partes: uma parte fixa (vetor particular) e outra que envolve os parâmetros (x1, x2, x3, 2 - 5x1) = (0, 0, 0, 2) + x1(1, 0, 0, -5) + x2(0, 1, 0, 0) + x3(0, 0, 1, 0) , e . Para fazer isso, considere , e como múltiplos de vetores base.
Então, podemos reescrever o vetor da seguinte forma:
Aqui, é o vetor particular, e os outros vetores são os vetores de direção que formam o espaço gerado (span).

Passo 5

Vamos comparar com a opção dada na questão:
[r-2 -3 -1 12] + span[r1 0 0 -5], [r0 -6 0 0], [l0 0 4 0]
Percebemos que o vetor particular na opção é , enquanto no nosso caso temos . Além disso, os vetores de direção na opção têm componentes diferentes dos nossos , e .

Passo 6

Para verificar se a representação da opção está correta, precisamos garantir que qualquer vetor da opção satisfaz a equação 5(-2) + 12 = -10 + 12 = 2 (satisfaz a equação) . Vamos verificar o vetor particular e os vetores de direção.
Primeiro, para o vetor particular 5(1) + (-5) = 5 - 5 = 0 (satisfaz a equação homogênea) :
5(0) + 0 = 0 (satisfaz a equação homogênea) çã
Agora, para os vetores de direção:
  1. 5(0) + 0 = 0 (satisfaz a equação homogênea) :
çãê
  1. :
çãê
  1. :
çãê

Passo 7

Como todos os vetores na representação da opção satisfazem a equação (o vetor particular satisfaz a equação não homogênea e os vetores de direção satisfazem a homogênea), a representação está correta. Além disso, a diferença entre nosso vetor particular e o da opção pode ser ajustada ajustando os parâmetros das variáveis livres.

Resposta

A representação dada está correta:

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