Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em R^3 ?
(E) 6 x+5 y+8 z & =4, 9 x+2 z & =3, x & =7
-24 x-20 y-32 z & =-16, -10 x-15 y & =-35

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar, em uma das opções apresentadas, se os conjuntos solução de dois sistemas lineares têm dimensão 1, ou seja, se são retas no espaço tridimensional R^3. Para isso, vamos analisar a Opção E, que contém dois sistemas de equações com as variáveis x, y e z. Precisamos resolver cada sistema e verificar a dimensão de seus conjuntos solução.

Passo 2

Primeiro Sistema:
6x + 5y + 8z = 4, 9x + 2z = 3, x = 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
  1. Encontrar o valor de 9(7) + 2z = 3 63 + 2z = 3 2z = 3 - 63 2z = -60 z = -30 :
    A terceira equação já nos dá que 6(7) + 5y + 8(-30) = 4 42 + 5y - 240 = 4 5y - 198 = 4 5y = 202 y = 2025 = 40,4 . Fácil, né?
  2. Substituir na segunda equação para encontrar :
  3. Substituir e na primeira equação para encontrar :
Solução do Primeiro Sistema: .
Análise da Dimensão:
Como encontramos um único conjunto de valores para , e , o conjunto solução é um ponto no espaço tridimensional, ou seja, tem dimensão 0.

Passo 3

Segundo Sistema:
-24x - 20y - 32z = -16, -10x - 15y = -35
Vamos resolver esse sistema.
  1. Simplificar as equações:
    Dividindo a primeira equação por -4:
    6x + 5y + 8z = 4
    Dividindo a segunda equação por -5:
    2x + 3y = 7
  2. Expressar 2x + 3y = 7 2x = 7 - 3y x = 7 - 3y2 em termos de 6(7 - 3y2) + 5y + 8z = 4 42 - 18y2 + 5y + 8z = 4 21 - 9y + 5y + 8z = 4 -4y + 8z = -17 -y + 2z = -174 y = 2z + 174 a partir da segunda equação:
    z = t, y = 2t + 174, x = 7 - 3(2t + 174)2
  3. Substituir x = 7 - 6t - 5142 = -6t - 2342 = -3t - 238 na primeira equação para encontrar uma relação entre x = -3t - 238, y = 2t + 174, z = t, e :
  4. Definir como parâmetro livre (vamos chamar de ):
    Simplificando :
Solução do Segundo Sistema:
onde é um número real qualquer.
Análise da Dimensão:
Como as soluções dependem de um parâmetro , o conjunto solução forma uma reta no espaço tridimensional, ou seja, tem dimensão 1.

Resposta

Na Opção E, o primeiro sistema possui uma única solução (dimensão 0) e o segundo sistema possui um conjunto solução que forma uma reta (dimensão 1). Como não ambos os sistemas têm dimensão 1, a Opção E não atende ao solicitado.

Exercícios relacionados