Sabendo que o ponto (-7,3,10, k) pertence ao plano (1,2,3,2)+span(2,-3,-1,-1),(3,1,-3,-2), assinale o valor de k :
(D) 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o ponto está no plano definido por mais todas as combinações lineares dos vetores e . Isso envolve conceitos de geometria analítica e álgebra linear, especialmente o de espaço vetorial e combinação linear. Para resolver, vamos precisar usar a ideia de combinação linear e igualar as coordenadas para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o ponto (-7, 3, 10, k) = (1, 2, 3, 2) + lambda (2, -3, -1, -1) + mu (3, 1, -3, -2) está no plano dado. Isso quer dizer que podemos escrever esse ponto como:
Aqui, e são escalares que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos separar essa equação em componentes para facilitar. Isso nos dá um sistema de equações:
-7 = 1 + 2lambda + 3mu 3 = 2 - 3lambda + mu 10 = 3 - lambda - 3mu k = 2 - lambda - 2mu
Nosso objetivo é encontrar e , e então usar esses valores para determinar .

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
3 = 2 - 3lambda + mu Rightarrow 3 - 2 = -3lambda + mu Rightarrow 1 = -3lambda + mu Rightarrow mu = 3lambda + 1 (1)

Passo 5

Agora, substituímos 10 = 3 - lambda - 3mu 10 = 3 - lambda - 3(3lambda + 1) 10 = 3 - lambda - 9lambda - 3 10 = -10lambda Rightarrow lambda = -1 da equação (1) na terceira equação:

Passo 6

Com mu = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2 , usamos a equação (1) para encontrar :

Passo 7

Agora que temos k = 2 - lambda - 2mu k = 2 - (-1) - 2(-2) k = 2 + 1 + 4 k = 7 e , substituímos esses valores na quarta equação para encontrar :

Resposta

O valor de é .

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