Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
[rrr|r1 & -2 & -2 & 1 -1 & -2 & 0 & 0 -1 & -6 & 0 & 3 -2 & 12 & 6 & k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(E) -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma matriz aumentada de um sistema linear e pede para encontrar o valor de que faz o sistema ter solução. Vamos precisar usar o método de eliminação de Gauss para resolver esse sistema e descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada:
rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 -1 & -2 & 0 & 0 -1 & -6 & 0 & 3 -2 & 12 & 6 & k

Passo 3

Vamos começar eliminando os elementos abaixo do primeiro pivô (1 na primeira linha). Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda, terceira e multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos à quarta linha.
Linha 2: rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & -4 & -2 & 1 0 & -8 & -2 & 4 0 & 8 & 2 & k + 2 , , ,
Linha 3: , , ,
Linha 4: , , ,
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo por rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & 2 & 1 & -0,5 0 & -8 & -2 & 4 0 & 8 & 2 & k + 2 :
Linha 2: , , ,
Matriz atualizada:

Passo 5

Vamos agora eliminar os elementos abaixo do segundo pivô (2 na segunda linha). Para isso, adicionamos 4 vezes a segunda linha à terceira e subtraímos 4 vezes a segunda linha da quarta linha.
Linha 3: rrr|r 1 & -2 & -2 & 1 0 & 2 & 1 & -0,5 0 & 0 & 2 & 2 0 & 0 & -2 & k + 4 , ,
Linha 4: , ,
Matriz atualizada:

Passo 6

Agora, observamos a terceira e quarta linhas. Para o sistema ter solução, as equações não devem ser inconsistentes. Vamos olhar para as variáveis livres:
Na terceira linha: -2(1) = k + 4 implies -2 = k + 4 implies k = -6 então
Na quarta linha: . Substituindo :

Resposta

O valor de que faz o sistema ter solução é .

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