Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis e . Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em ?
(B)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas sistemas de equações lineares com as variáveis e . A pergunta é: em qual opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas são retas no espaço tridimensional , ou seja, têm dimensão 1?
Vamos focar na opção (B) que foi fornecida:
Para verificar se os conjuntos-solução são retas, precisamos ver se cada sistema tem infinitas soluções que formam uma reta no espaço. Isso acontece quando o sistema possui duas equações lineares independentes com três variáveis, resultando em uma dimensão livre.
Passo 2
Vamos analisar o primeiro sistema:
Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, temos:
Vamos resolver o segundo sistema para expressar e em termos de uma variável livre, digamos .
Da segunda equação:
Podemos escolher , onde é qualquer número real. Assim:
Agora, substituímos e na primeira equação para encontrar :
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 8 para eliminar o denominador:
Juntando os termos semelhantes:
Isolando :
Então, a solução geral do primeiro sistema é:
Como há um parâmetro livre , o conjunto-solução é uma reta no espaço, ou seja, tem dimensão 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar o segundo sistema:
-24x - 20y - 32z = -16, -30x - 25y - 40z = -20
Primeiro, vamos simplificar as equações dividindo a primeira por 4 e a segunda por 5:
-6x - 5y - 8z = -4, -6x - 5y - 8z = -4
Observamos que as duas equações são idênticas! Isso significa que na verdade temos apenas uma equação única:
-6x - 5y - 8z = -4
Com três variáveis e uma equação, temos duas graus de liberdade. Podemos escolher duas variáveis livres.
Vamos escolher -6x - 5s - 8t = -4 Rightarrow x = -5s -8t +4-6 = 5s + 8t -46 e x = 5s + 8t -46, y = s, z = t , onde e podem ser quaisquer números reais.
Substituindo na equação:
Então, a solução geral do segundo sistema é:
Aqui, temos dois parâmetros livres ( e ), o que significa que o conjunto-solução forma um plano no espaço , ou seja, tem dimensão 2.
Passo 4
Esperamos que ambos os sistemas tenham soluções que formam retas, mas vimos que:
O primeiro sistema tem uma única variável livre (), resultando em uma reta (dimensão 1).
O segundo sistema tem duas variáveis livres ( e ), resultando em um plano (dimensão 2).
Portanto, na opção (B), apenas o primeiro sistema tem solução de dimensão 1, enquanto o segundo sistema tem dimensão 2.
Resposta
Na opção (B), apenas um dos sistemas tem solução de dimensão 1. Portanto, a opção (B) não satisfaz a condição da questão.