Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em R^3 ?
(B) r-12 x-27 y-6 z=-24, 24 y+15 z=27
-24 x-20 y-32 z & =-16, -30 x-25 y-40 z & =-20

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas sistemas de equações lineares com as variáveis -12x - 27y - 6z = -24, 24y + 15z = 27 e -24x - 20y - 32z = -16, -30x - 25y - 40z = -20 . A pergunta é: em qual opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas são retas no espaço tridimensional , ou seja, têm dimensão 1?
Vamos focar na opção (B) que foi fornecida:
Para verificar se os conjuntos-solução são retas, precisamos ver se cada sistema tem infinitas soluções que formam uma reta no espaço. Isso acontece quando o sistema possui duas equações lineares independentes com três variáveis, resultando em uma dimensão livre.

Passo 2

Vamos analisar o primeiro sistema:
-12x - 27y - 6z = -24, 24y + 15z = 27
Primeiro, podemos simplificar a segunda equação dividindo todos os termos por 3:
8y + 5z = 9
Agora, temos:
-12x - 27y - 6z = -24, 8y + 5z = 9
Vamos resolver o segundo sistema para expressar 8y + 5z = 9 Rightarrow y = 9 - 5z8 e y = 9 - 5t8 em termos de uma variável livre, digamos -12x - 27(9 - 5t8) - 6t = -24 .
Da segunda equação:
-12x - 243 - 135t8 - 6t = -24
Podemos escolher -96x - 243 + 135t - 48t = -192 , onde -96x + 87t = 51 é qualquer número real. Assim:
x = 87t - 5196 = 29t - 1732
Agora, substituímos x = 29t - 1732, y = 9 - 5t8, z = t e na primeira equação para encontrar :
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por 8 para eliminar o denominador:
Juntando os termos semelhantes:
Isolando :
Então, a solução geral do primeiro sistema é:
Como há um parâmetro livre , o conjunto-solução é uma reta no espaço, ou seja, tem dimensão 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar o segundo sistema:
-24x - 20y - 32z = -16, -30x - 25y - 40z = -20
Primeiro, vamos simplificar as equações dividindo a primeira por 4 e a segunda por 5:
-6x - 5y - 8z = -4, -6x - 5y - 8z = -4
Observamos que as duas equações são idênticas! Isso significa que na verdade temos apenas uma equação única:
-6x - 5y - 8z = -4
Com três variáveis e uma equação, temos duas graus de liberdade. Podemos escolher duas variáveis livres.
Vamos escolher -6x - 5s - 8t = -4 Rightarrow x = -5s -8t +4-6 = 5s + 8t -46 e x = 5s + 8t -46, y = s, z = t , onde e podem ser quaisquer números reais.
Substituindo na equação:
Então, a solução geral do segundo sistema é:
Aqui, temos dois parâmetros livres ( e ), o que significa que o conjunto-solução forma um plano no espaço , ou seja, tem dimensão 2.

Passo 4

Esperamos que ambos os sistemas tenham soluções que formam retas, mas vimos que:
  • O primeiro sistema tem uma única variável livre ( ), resultando em uma reta (dimensão 1).
  • O segundo sistema tem duas variáveis livres ( e ), resultando em um plano (dimensão 2).
Portanto, na opção (B), apenas o primeiro sistema tem solução de dimensão 1, enquanto o segundo sistema tem dimensão 2.

Resposta

Na opção (B), apenas um dos sistemas tem solução de dimensão 1. Portanto, a opção (B) não satisfaz a condição da questão.

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