Considere o sistema linear representado pela seguinte matriz aumentada:
[rrr|r1 & -2 & -2 & 1 -1 & -2 & 0 & 0 -1 & -6 & 0 & 3 -2 & 12 & 6 & k]
Assinale o valor de k de forma que o sistema tenha solução:
(D) -3

Passo 1

Beleza, a gente tem um sistema de equações representado por uma matriz aumentada. A ideia aqui é descobrir qual valor de faz com que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Para resolver isso, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz e encontrar uma condição para .

Passo 2

Primeiro, olhamos para a primeira linha da matriz:
1 & -2 & -2 & | & 1
Essa linha já está bem arrumada com o primeiro elemento sendo 1. Vamos usar esse 1 para eliminar o primeiro elemento das linhas abaixo.

Passo 3

Vamos eliminar o primeiro elemento da segunda linha adicionando a primeira linha à segunda:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1 implies (-1 + 1, -2 + (-2), 0 + (-2), 0 + 1) = (0, -4, -2, 1)
Agora, a segunda linha fica:
0 & -4 & -2 & | & 1

Passo 4

Fazemos o mesmo para a terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 1 implies (-1 + 1, -6 + (-2), 0 + (-2), 3 + 1) = (0, -8, -2, 4)
A terceira linha agora é:
0 & -8 & -2 & | & 4

Passo 5

E para a quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + 2 times Linha 1 implies (-2 + 2(1), 12 + 2(-2), 6 + 2(-2), k + 2(1)) = (0, 8, 2, k + 2)
A quarta linha fica:
0 & 8 & 2 & | & k + 2

Passo 6

Agora, nossa matriz fica assim:
1 & -2 & -2 & | & 1 0 & -4 & -2 & | & 1 0 & -8 & -2 & | & 4 0 & 8 & 2 & | & k + 2
Vamos focar nas linhas 2, 3 e 4 para simplificar mais.

Passo 7

Dividimos a segunda linha por Linha 2 = Linha 2-2 implies (0, 2, 1, |, -0.5) para facilitar:
0 & 2 & 1 & | & -0.5
A segunda linha fica:

Passo 8

Usamos a segunda linha para eliminar o segundo elemento da terceira e quarta linhas.
Para a terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + 4 times Linha 2 implies (0, -8 + 4(2), -2 + 4(1), 4 + 4(-0.5)) = (0, 0, 2, 2)
A terceira linha fica:
0 & 0 & 2 & | & 2
Para a quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - 4 times Linha 2 implies (0, 8 - 4(2), 2 - 4(1), k + 2 - 4(-0.5)) = (0, 0, -2, k + 4)
A quarta linha fica:
0 & 0 & -2 & | & k + 4

Passo 9

Agora, temos:
1 & -2 & -2 & | & 1 0 & 2 & 1 & | & -0.5 0 & 0 & 2 & | & 2 0 & 0 & -2 & | & k + 4
Observamos que as últimas duas linhas envolvem apenas a variável .

Passo 10

Para que o sistema tenha solução, as equações das linhas 3 e 4 devem ser consistentes. Vamos comparar as duas:
Da linha 3:
2z = 2 implies z = 1
Da linha 4:
-2z = k + 4 implies -2(1) = k + 4 implies -2 = k + 4
Resolvendo para k = -6 :

Resposta

O valor de que faz o sistema ter solução é .

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