Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize
T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos um operador linear definido por . O conteúdo que vamos usar envolve álgebra linear, especificamente os conceitos de polinômio característico, autovalores, autoespaços, multiplicidades algébricas e geométricas, além de encontrar uma base de autovetores para diagonalizar o operador. Para isso, precisaremos trabalhar com matrizes, determinantes e resolver equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz associada ao operador A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 2 . Sabemos que para um operador linear , a matriz é construída de forma que para qualquer vetor em . Portanto, extraímos os coeficientes de :

Passo 3

Agora, vamos achar o polinômio característico de A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & -1 - lambda & 0 2 & 1 & 2 - lambda . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade. Calculamos :

Passo 4

Calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det -1 - lambda & 0 1 & 2 - lambda - 0 + 0
= (1 - lambda) cdot [(-1 - lambda)(2 - lambda) - (0)(1)]
= (1 - lambda) cdot [(-1)(2 - lambda) - lambda(2 - lambda)]
= (1 - lambda) cdot [ -2 + lambda - 2lambda + lambda^2 ]
= (1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2)

Passo 5

Fatoramos o polinômio quadrático:
lambda^2 - lambda - 2 = (lambda - 2)(lambda + 1)
Portanto, o polinômio característico é:
p(lambda) = (1 - lambda)(lambda - 2)(lambda + 1)

Passo 6

Agora, encontramos os autovalores resolvendo (1 - lambda)(lambda - 2)(lambda + 1) = 0 :
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = -1
Então, os autovalores são:

Passo 7

Vamos determinar os autoespaços para cada autovalor. Para isso, resolvemos A - I = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1 para cada A - 2I = -1 & 0 & 0 -2 & -3 & 0 2 & 1 & 0 .
Para A + I = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 :
Resolvendo o sistema, obtemos os vetores próprios.
Para :
Resolvendo o sistema, encontramos os vetores próprios.
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos os vetores próprios.

Passo 8

Calculamos as multiplicidades algébricas e geométricas:
  • Multiplicidade algébrica: Número de vezes que cada autovalor aparece no polinômio característico.
    • : multiplicidade algébrica = 1
    • : multiplicidade algébrica = 1
    • : multiplicidade algébrica = 1
  • Multiplicidade geométrica: Dimensão do autoespaço correspondente a cada autovalor (número de autovetores linearmente independentes).
    • Supondo que para cada , a multiplicidade geométrica é igual a 1.

Passo 9

Finalmente, coletamos os resultados para uma base de autovetores que diagonaliza Base de autovetores = v1, v2, v3 :
onde são os autovetores correspondentes aos autovalores , respectivamente.

Resposta

O operador possui os seguintes componentes:
  • Polinômio característico:
  • Autovalores:
  • Autoespaços: Cada autovalor tem um autoespaço de dimensão 1
  • Multiplicidades algébricas: Todos os autovalores têm multiplicidade algébrica 1
  • Multiplicidades geométricas: Todos os autovalores têm multiplicidade geométrica 1
  • Base de autovetores: Uma base composta pelos autovetores correspondentes a que diagonalizam

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