Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos um operador linear definido por . O conteúdo que vamos usar envolve álgebra linear, especificamente os conceitos de polinômio característico, autovalores, autoespaços, multiplicidades algébricas e geométricas, além de encontrar uma base de autovetores para diagonalizar o operador. Para isso, precisaremos trabalhar com matrizes, determinantes e resolver equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz associada ao operador . Sabemos que para um operador linear , a matriz é construída de forma que para qualquer vetor em . Portanto, extraímos os coeficientes de :
Passo 3
Agora, vamos achar o polinômio característico de A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & -1 - lambda & 0 2 & 1 & 2 - lambda . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade. Calculamos :