Dado o operador linear
tal que
, encontre uma base de autovetores que diagonalize o operador
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear. A gente precisa encontrar uma base de autovetores que diagonalize o operador linear
definido por
. Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e matrizes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador
como uma matriz. A matriz associada a
é dada por:
Essa matriz nos ajuda a trabalhar com os autovalores e autovetores de forma mais simples.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Isso nos dá dois autovalores:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Substituímos na equação
:
[
]
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Substituímos na equação
:
[
]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, temos
, então o autovetor é
.
Resposta
A base de autovetores que diagonaliza o operador
é formada por
e
.