Dado o operador linear T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(-3 x-5 y, 2 y), encontre uma base de autovetores que diagonalize o operador T

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear. A gente precisa encontrar uma base de autovetores que diagonalize o operador linear definido por . Para isso, vamos precisar entender conceitos como autovalores, autovetores e matrizes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = -3 & -5 0 & 2 como uma matriz. A matriz associada a é dada por:
Essa matriz nos ajuda a trabalhar com os autovalores e autovetores de forma mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de A - lambda I = -3 - lambda & -5 0 & 2 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (-3 - lambda)(2 - lambda) - (-5)(0) = (-3 - lambda)(2 - lambda)
Onde (-3 - lambda)(2 - lambda) = 0 é a matriz identidade. Vamos calcular:
lambda1 = -3 e lambda2 = 2
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Isso nos dá dois autovalores:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & -5 0 & 5 x y = 0 0 .
Para 0x - 5y = 0 Rightarrow y = 0 :
Substituímos na equação 1 0 :

[
-5 & -5 0 & 0 x y = 0 0
-5x - 5y = 0 Rightarrow x = -y

1 -1
]
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Substituímos na equação :

[


]
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , temos , então o autovetor é .

Resposta

A base de autovetores que diagonaliza o operador 1 0 é formada por 1 -1 e .

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