Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear que age em . A tarefa é descobrir várias coisa sobre esse operador: o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que diagonalize a matriz de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, precisamos representar o operador como uma matriz. Sabemos que . Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos achar o polinômio característico da matriz de T. O polinômio característico é dado por det(T - lambda I), onde I é a matriz identidade e lambda é um escalar.
T - lambda I = 1-lambda & 2 & 3 0 & 1-lambda & 2 0 & 0 & 1-lambda
Como essa é uma matriz triangular (toda abaixo da diagonal principal é zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Da segunda equação, temos 2z = 0 implies z = 0. Substituindo na primeira equação: 2y = 0 implies y = 0. Assim, x pode ser qualquer valor real. Portanto, os autovetores têm a forma (x, 0, 0), onde x neq 0.
Então, o autoespaço associado a lambda = 1 é:
E1 = x 0 0 mid x in R
Passo 6
Vamos verificar as multiplicidades:
Multiplicidade Algébrica: Já vimos que é 3, pois (1 - lambda)^3.
Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do autoespaço E1. Como E1 é gerado por apenas um vetor independente (por exemplo, (1, 0, 0)), a multiplicidade geométrica é 1.
Passo 7
Finalmente, vamos ver se conseguimos diagonalizar a matriz de T. Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. No nosso caso, temos: