Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize
T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, y+2 z, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um operador linear T que age em R^3. A tarefa é descobrir várias coisa sobre esse operador: o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que diagonalize a matriz de T. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, precisamos representar o operador T como uma matriz. Sabemos que T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, z). Isso significa que:
T = 1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 1

Passo 3

Agora, vamos achar o polinômio característico da matriz de T. O polinômio característico é dado por det(T - lambda I), onde I é a matriz identidade e lambda é um escalar.
T - lambda I = 1-lambda & 2 & 3 0 & 1-lambda & 2 0 & 0 & 1-lambda
Como essa é uma matriz triangular (toda abaixo da diagonal principal é zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(T - lambda I) = (1-lambda)(1-lambda)(1-lambda) = (1-lambda)^3
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = (1 - lambda)^3

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica p(lambda) = 0:
(1 - lambda)^3 = 0 implies lambda = 1
Então, o único autovalor é lambda = 1, com multiplicidade algébrica 3 (porque o expoente de (1 - lambda) é 3).

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes ao autovalor lambda = 1. Para isso, resolvemos (T - I)v = 0.
T - I = 0 & 2 & 3 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
0x + 2y + 3z = 0 0x + 0y + 2z = 0 0x + 0y + 0z = 0
Da segunda equação, temos 2z = 0 implies z = 0. Substituindo na primeira equação: 2y = 0 implies y = 0. Assim, x pode ser qualquer valor real. Portanto, os autovetores têm a forma (x, 0, 0), onde x neq 0.
Então, o autoespaço associado a lambda = 1 é:
E1 = x 0 0 mid x in R

Passo 6

Vamos verificar as multiplicidades:
  • Multiplicidade Algébrica: Já vimos que é 3, pois (1 - lambda)^3.
  • Multiplicidade Geométrica: É a dimensão do autoespaço E1. Como E1 é gerado por apenas um vetor independente (por exemplo, (1, 0, 0)), a multiplicidade geométrica é 1.

Passo 7

Finalmente, vamos ver se conseguimos diagonalizar a matriz de T. Para uma matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. No nosso caso, temos:
Muéé
Como 1 ≠ 3, a matriz de T não é diagonalizável.

Resposta

  • Polinômio Característico: (1 - lambda)^3
  • Autovalores: lambda = 1 (com multiplicidade algébrica 3)
  • Autoespaço: E1 = x 0 0 mid x in R
  • Multiplicidade Geométrica: 1
  • Base de Autovetores: 1 0 0
  • Diagonalização: Não é possível diagonalizar a matriz de T.

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