Determine se o conjunto
e
é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Esse tipo de problema está ligado ao conceito de subespaços vetoriais na álgebra linear. Para resolver, vamos precisar lembrar quais são as condições que um conjunto deve satisfazer para ser considerado um subespaço. Basicamente, precisamos verificar três coisas:
- Se o vetor zero está no conjunto.
- Se a soma de dois vetores do conjunto também está no conjunto.
- Se qualquer múltiplo escalar de um vetor do conjunto também está no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz as condições
e
:
Como ambas as igualdades são verdadeiras, o vetor zero está no conjunto. Isso é bom, pois é a primeira condição para ser um subespaço.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda condição: a soma de dois vetores do conjunto também deve pertencer ao conjunto. Vamos considerar dois vetores quaisquer do conjunto:
Sabemos que
e
, e o mesmo vale para
:
Vamos somar
e
:
Precisamos verificar se
e
:
Como
e
, então:
E também,
e
, então:
Portanto, a soma
também satisfaz as condições do conjunto. Isso confirma que a segunda condição é satisfeita.
Passo 4
Por último, vamos verificar a terceira condição: qualquer múltiplo escalar de um vetor do conjunto também deve pertencer ao conjunto. Seja
um vetor do conjunto e
um escalar qualquer. Sabemos que
e
.
Vamos calcular o múltiplo escalar:
Precisamos verificar se
e
:
Como
e
, multiplicando ambos os lados por
, temos:
Portanto, o múltiplo escalar
também satisfaz as condições do conjunto. Isso confirma que a terceira condição é satisfeita.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
, pois satisfaz todas as condições necessárias de um subespaço vetorial.