Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize
T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 2 y+3 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear de para definido por . Nosso objetivo é encontrar o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que diagonalize . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 2 & 3 como uma matriz. Como age em , a matriz será . Observando a definição de , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por T - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 0 & 2 - lambda & 1 0 & 2 & 3 - lambda , onde det(T - lambda I) = (1 - lambda)[(2 - lambda)(3 - lambda) - 2 cdot 1] - 1 cdot [0 cdot (3 - lambda) - 0 cdot 1] + 1 cdot [0 cdot 2 - 0 cdot (2 - lambda)] é um escalar e = (1 - lambda)[(2 - lambda)(3 - lambda) - 2] é a matriz identidade.
= (1 - lambda)[(6 - 5lambda + lambda^2) - 2]
Calculando o determinante:
= (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4)
Simplificando:
p(lambda) = (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4)
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

Vamos resolver (1 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4) = 0 para encontrar os autovalores.
1 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 1
Isso nos dá:
lambda^2 - 5lambda + 4 = 0
e
lambda = 5 pm raiz25 - 162 = 5 pm 32
Resolvendo a segunda equação quadrática:
lambda = 4 ou lambda = 1
Então,
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor. Isso envolve resolver T - I = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 2 & 2 para cada 0x + y + z = 0 0x + y + z = 0 0x + 2y + 2z = 0 .
Para Autovetor = x y - y = x 1 0 0 + y 0 1 -1 :
T - 4I = -3 & 1 & 1 0 & -2 & 1 0 & 2 & -1
Resolvendo o sistema:
-3x + y + z = 0 -2y + z = 0 2y - z = 0
Isso reduz para -3x + y + 2y = 0 Rightarrow -3x + 3y = 0 Rightarrow x = y . Então, Autovetor = y y 2y = y 1 1 2 e é livre. Assim, o autoespaço é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, o autoespaço é:

Passo 6

Vamos agora determinar as multiplicidades algébricas e geométricas.
  • Autovalor :
    • Multiplicidade algébrica: (porque aparece uma vez e também é raiz da quadrática).
    • Multiplicidade geométrica: (apenas um vetor livre no autoespaço).
  • Autovalor :
    • Multiplicidade algébrica: .
    • Multiplicidade geométrica: .

Passo 7

Para diagonalizar 1 0 0 , 0 1 -1 , 1 1 2 , precisamos de uma base composta por autovetores distintos. No caso, temos autovetores para e .
Escolhemos os vetores:
Esses vetores são linearmente independentes e formam uma base que diagonaliza .

Resposta

O polinômio característico é 1 0 0. Os autovalores são 0 1 -1 (com multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1) e 1 1 2 (com multiplicidade algébrica e geométrica 1). Os autoespaços são gerados pelos vetores 1 0 0 e 0 1 -1 para 1 1 2, e por para . Uma base de autovetores que diagonaliza é .

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