Considere as seguintes funções de R em C : f1(x)=1, f2(x)=e^i x, f3(x)=e^-i x, g1(x)=1, g2(x)=cos (x), g3(x)=sen(x).
c) Calcule a matriz de mudança da base B=(f1, f2, f3) para a base C=(g1, g2, g3). Se um vetor u na base B tem coordenadas (0, 12, 12). Quais são as suas coordenadas na base C ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que envolve mudanças de base. As funções dadas formam duas bases diferentes, a base e a base . A tarefa é encontrar a matriz que faz a transição de para e, com isso, descobrir como um vetor com coordenadas na base fica na base . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a matriz de mudança de base e como aplicá-la aos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para mudar as coordenadas de um vetor de uma base P = [, [f1]C [f2]C [f3]C ,] para uma base , precisamos encontrar a matriz de mudança de base que satisfaz a relação:
Aqui, representa as coordenadas de cada vetor da base na base .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas de cada f1(x) = 1, f2(x) = e^ix, f3(x) = e^-ix na base g1(x) = 1, g2(x) = cos(x), g3(x) = sen(x) . Lembrando que:
fi = a1i g1 + a2i g2 + a3i g3
Precisamos expressar cada como combinação linear dos :

Passo 4

Vamos começar com 1 = a11 cdot 1 + a21 cdot cos(x) + a31 cdot sen(x) . Queremos encontrar [f1]C = 1 0 0 tais que:
Isso implica que e , porque não há termos de ou em . Logo:

Passo 5

Agora, para e^ix = cos(x) + i sen(x) . Usando a fórmula de Euler:
Então, queremos:
Comparando os coeficientes, temos:
cos(x) + i sen(x) = a12 cdot 1 + a22 cdot cos(x) + a32 cdot sen(x)
Portanto:
a12 = 0, a22 = 1, a32 = i

Passo 6

Por fim, para e^-ix = cos(x) - i sen(x) . Também pela fórmula de Euler:
Então:
Comparando os coeficientes:
cos(x) - i sen(x) = a13 cdot 1 + a23 cdot cos(x) + a33 cdot sen(x)
Logo:
a13 = 0, a23 = 1, a33 = -i

Passo 7

Agora que temos as coordenadas de cada P = [f1]C & [f2]C & [f3]C = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & i & -i na base , podemos montar a matriz de mudança de base :

Passo 8

Para encontrar as coordenadas do vetor uB = 0 12 12 na base uC = P cdot uB = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & i & -i 0 12 12 , usamos a matriz e multiplicamos pelas coordenadas de na base :

Passo 9

Fazendo a multiplicação:
uC = 1 cdot 0 + 0 cdot 12 + 0 cdot 12 0 cdot 0 + 1 cdot 12 + 1 cdot 12 0 cdot 0 + i cdot 12 + (-i) cdot 12 = 0 12 + 12 i2 - i2 = 0 1 0

Resposta

As coordenadas do vetor na base são .

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