Considere as seguintes funções de em : , .
c) Calcule a matriz de mudança da base para a base . Se um vetor na base tem coordenadas . Quais são as suas coordenadas na base ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que envolve mudanças de base. As funções dadas formam duas bases diferentes, a base e a base . A tarefa é encontrar a matriz que faz a transição de para e, com isso, descobrir como um vetor com coordenadas na base fica na base . Para resolver isso, vamos precisar entender como construir a matriz de mudança de base e como aplicá-la aos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para mudar as coordenadas de um vetor de uma base para uma base , precisamos encontrar a matriz de mudança de base que satisfaz a relação:
Aqui, representa as coordenadas de cada vetor da base na base .
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas de cada na base . Lembrando que:
Precisamos expressar cada como combinação linear dos :
Passo 4
Vamos começar com . Queremos encontrar tais que:
Isso implica que e , porque não há termos de ou em . Logo:
Passo 5
Agora, para e^ix = cos(x) + i sen(x) . Usando a fórmula de Euler:
Agora que temos as coordenadas de cada P = [f1]C & [f2]C & [f3]C = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & i & -i na base , podemos montar a matriz de mudança de base :
Passo 8
Para encontrar as coordenadas do vetor uB = 0 12 12 na base uC = P cdot uB = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & i & -i 0 12 12 , usamos a matriz e multiplicamos pelas coordenadas de na base :