Mostre que a função T(x, y)=(0, y) é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função é linear e descrever geometricamente o que essa transformação faz. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias. Além disso, vamos explorar a representação gráfica dessa transformação no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é considerada linear se satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Adição de vetores: para quaisquer vetores e em .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar se a função cumpre essas duas propriedades.

Passo 3

Verificando a propriedade da adição de vetores:
Sejam T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (0, y1 + y2) e T(u) + T(v) = (0, y1) + (0, y2) = (0 + 0, y1 + y2) = (0, y1 + y2) .
Calculamos T(cu) = T(cx, cy) = (0, cy) :
cT(u) = c(0, y) = (c cdot 0, c cdot y) = (0, cy)
Agora, calculamos :
Como , a propriedade da adição de vetores é satisfeita.
Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Seja um escalar e .
Calculamos :
Agora, calculamos :
Como , a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Como a função cumpre ambas as propriedades, podemos concluir que é uma transformação linear.

Passo 4

Geometricamente, a transformação pega qualquer ponto do plano e move sua coordenada para zero, mantendo a coordenada inalterada. Isso significa que todos os pontos são projetados sobre o eixo . Visualmente, imagine que você tem um ponto flutuando no plano; ao aplicar , esse ponto “caí” na linha do eixo , independentemente de onde estava no eixo .

Resposta

A função é linear porque satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar. Geometricamente, essa transformação projeta qualquer ponto do plano sobre o eixo , zerando a coordenada .

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