Mostre que a função
é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
é linear e descrever geometricamente o que essa transformação faz. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se a função
satisfaz as propriedades necessárias. Além disso, vamos explorar a representação gráfica dessa transformação no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é considerada linear se satisfaz duas propriedades fundamentais:
- Adição de vetores:
para quaisquer vetores e em . - Multiplicação por escalar:
para qualquer vetor em e qualquer escalar .
Vamos verificar se a função
cumpre essas duas propriedades.
Passo 3
Verificando a propriedade da adição de vetores:
Sejam e
.
Sejam
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Como
, a propriedade da adição de vetores é satisfeita.
Verificando a propriedade da multiplicação por escalar:
Seja um escalar e
.
Seja
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Como
, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Como a função
cumpre ambas as propriedades, podemos concluir que
é uma transformação linear.
Passo 4
Geometricamente, a transformação
pega qualquer ponto do plano e move sua coordenada
para zero, mantendo a coordenada
inalterada. Isso significa que todos os pontos são projetados sobre o eixo
. Visualmente, imagine que você tem um ponto flutuando no plano; ao aplicar
, esse ponto “caí” na linha do eixo
, independentemente de onde estava no eixo
.
Resposta
A função
é linear porque satisfaz as propriedades de adição de vetores e multiplicação por escalar. Geometricamente, essa transformação projeta qualquer ponto do plano sobre o eixo
, zerando a coordenada
.