Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos um operador linear definido por . O que precisamos fazer é encontrar o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que diagonalize esse operador. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Observando a definição de , podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por:
p(lambda) = det(A - lambda I)
Onde A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & 3 - lambda & -1 0 & -4 & 3 - lambda é a matriz identidade. Vamos calcular p(lambda) = (1 - lambda) cdot det 3 - lambda & -1 -4 & 3 - lambda - 0 + 0 :
Da segunda linha: A - 5I = -4 & 0 & 0 -2 & -2 & -1 0 & -4 & -2
Da terceira linha: E2 = y 0 1 -2 , | , y in R
Substituindo na segunda equação:
Então, as soluções são , livre, . Portanto, o autoespaço é:
A multiplicidade geométrica de é 1.
Para :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema:
Da primeira linha:
Da segunda linha:
Da terceira linha: , que é redundante.
Então, as soluções são , livre, . Portanto, o autoespaço é:
A multiplicidade geométrica de é 1.
Passo 6
Vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se a soma das multiplicidades geométricas for igual ao tamanho da matriz (neste caso, 3).
Aqui temos:
com multiplicidade geométrica 1
com multiplicidade geométrica 1
Somando as multiplicidades geométricas:
Como 2 < 3, a matriz não é diagonalizável.
Resposta
Polinômio característico: E1 = y 0 1 2 , | , y in R
Autovalores:
E2 = y 0 1 -2 , | , y in R (multiplicidade algébrica 2)
Não existe uma base completa de autovetores que diagonalize porque a soma das multiplicidades geométricas (2) é menor que o tamanho da matriz (3). Portanto, não é diagonalizável.