Para cada operador abaixo exiba, se possível: seu polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que os diagonalize
T: R^3 R^3 tal que T(x, y, z)=(x,-2 x+3 y-z, -4 y+3 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos um operador linear definido por . O que precisamos fazer é encontrar o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços, as multiplicidades algébricas e geométricas, e uma base de autovetores que diagonalize esse operador. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador A = 1 & 0 & 0 -2 & 3 & -1 0 & -4 & 3 como uma matriz. Observando a definição de , podemos escrever a matriz associada a da seguinte forma:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o polinômio característico dessa matriz. O polinômio característico é dado por:
p(lambda) = det(A - lambda I)
Onde A - lambda I = 1 - lambda & 0 & 0 -2 & 3 - lambda & -1 0 & -4 & 3 - lambda é a matriz identidade. Vamos calcular p(lambda) = (1 - lambda) cdot det 3 - lambda & -1 -4 & 3 - lambda - 0 + 0 :
det 3 - lambda & -1 -4 & 3 - lambda = (3 - lambda)^2 - (-1)(-4) = (3 - lambda)^2 - 4
Calculando o determinante:
p(lambda) = (1 - lambda) [ (3 - lambda)^2 - 4 ] = (1 - lambda) [ 9 - 6lambda + lambda^2 - 4 ] = (1 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 5)
p(lambda) = (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda - 5) = -( lambda - 1)^2 (lambda - 5 )

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo (1 - lambda)^2 ( lambda - 5 ) = 0 :
lambda1 = 1 (com mu
Isso nos dá os autovalores:
lambda2 = 5 (com mué
é

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para A - I = 0 & 0 & 0 -2 & 2 & -1 0 & -4 & 2 :
Resolvemos -2x + 2y - 2y = -2x = 0 Rightarrow x = 0 :
E1 = y 0 1 2 , | , y in R
Resolvendo o sistema:
Da segunda linha: A - 5I = -4 & 0 & 0 -2 & -2 & -1 0 & -4 & -2
Da terceira linha: E2 = y 0 1 -2 , | , y in R
Substituindo na segunda equação:
Então, as soluções são , livre, . Portanto, o autoespaço é:
A multiplicidade geométrica de é 1.
Para :
Resolvemos :
Resolvendo o sistema:
Da primeira linha:
Da segunda linha:
Da terceira linha: , que é redundante.
Então, as soluções são , livre, . Portanto, o autoespaço é:
A multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 6

Vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se a soma das multiplicidades geométricas for igual ao tamanho da matriz (neste caso, 3).
Aqui temos:
  • com multiplicidade geométrica 1
  • com multiplicidade geométrica 1
Somando as multiplicidades geométricas:
Como 2 < 3, a matriz não é diagonalizável.

Resposta

Polinômio característico: E1 = y 0 1 2 , | , y in R
Autovalores:
  • E2 = y 0 1 -2 , | , y in R (multiplicidade algébrica 2)
  • (multiplicidade algébrica 1)
Autoespaços:
  • Para :
  • Para :
Multiplicidades:
  • : multiplicidade algébrica 2, multiplicidade geométrica 1
  • : multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1
Base de autovetores que diagonaliza :
Não existe uma base completa de autovetores que diagonalize porque a soma das multiplicidades geométricas (2) é menor que o tamanho da matriz (3). Portanto, não é diagonalizável.

Exercícios relacionados