Seja
(b) Expresse
como um produto de matrizes elementares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o inverso da matriz
expressando-o como um produto de matrizes elementares. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e matrizes elementares. Vamo que vamo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz elemental é uma matriz que representa uma única operação elementar de linha. E qualquer matriz invertível pode ser expressa como um produto dessas matrizes elementares. Então, para achar
, precisamos encontrar quais operações elementares transformam
na matriz identidade
.
Passo 3
Vamos começar com a matriz
:
Nosso objetivo é transformar
em
usando operações de linha, e cada operação vai correspondender a uma matriz elemental.
Passo 4
Primeira operação: vamos fazer o elemento
ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
A matriz fica:
Passo 5
Segunda operação: eliminar o 6 abaixo do 1. Fazemos
:
Calculando:
A matriz agora é:
Passo 6
Terceira operação: eliminar o
acima do 1 na posição
. Fazemos
:
Calculando:
A matriz resultante é a identidade:
Passo 7
Agora, vamos associar cada operação a uma matriz elemental:
- Dividir a primeira linha por 2:
- Subtrair 6 vezes a primeira linha da segunda:
- Subtrair
da segunda linha da primeira:
Passo 8
O inverso da matriz
é o produto dessas matrizes elementares na ordem inversa das operações:
Resposta
Portanto, o inverso de
expresso como um produto de matrizes elementares é: