Seja
A=(ll 2 & 1 6 & 4 )
(b) Expresse A^-i como um produto de matrizes elementares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o inverso da matriz expressando-o como um produto de matrizes elementares. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e matrizes elementares. Vamo que vamo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz elemental é uma matriz que representa uma única operação elementar de linha. E qualquer matriz invertível pode ser expressa como um produto dessas matrizes elementares. Então, para achar , precisamos encontrar quais operações elementares transformam na matriz identidade .

Passo 3

Vamos começar com a matriz A = 2 & 1 6 & 4 :
Nosso objetivo é transformar em usando operações de linha, e cada operação vai correspondender a uma matriz elemental.

Passo 4

Primeira operação: vamos fazer o elemento R1 div 2 R1 ser 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 2:
1 & 12 6 & 4
A matriz fica:

Passo 5

Segunda operação: eliminar o 6 abaixo do 1. Fazemos R2 - 6R1 R2 :
6 - 6(1) = 0 4 - 6(12) = 4 - 3 = 1
Calculando:
1 & 12 0 & 1
A matriz agora é:

Passo 6

Terceira operação: eliminar o R1 - 12R2 R1 acima do 1 na posição 1 - 12(0) = 1 12 - 12(1) = 12 - 12 = 0 . Fazemos 1 & 0 0 & 1 = I :
Calculando:
A matriz resultante é a identidade:

Passo 7

Agora, vamos associar cada operação a uma matriz elemental:
  1. Dividir a primeira linha por 2:
E1 = 12 & 0 0 & 1
  1. Subtrair 6 vezes a primeira linha da segunda:
E2 = 1 & 0 -6 & 1
  1. Subtrair E3 = 1 & -12 0 & 1 da segunda linha da primeira:

Passo 8

O inverso da matriz A^-1 = E3 cdot E2 cdot E1 é o produto dessas matrizes elementares na ordem inversa das operações:

Resposta

Portanto, o inverso de A^-1 = 1 & -12 0 & 1 cdot 1 & 0 -6 & 1 cdot 12 & 0 0 & 1 expresso como um produto de matrizes elementares é:

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