Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um operador linear
definido por
. Nosso objetivo é calcular o polinômio característico, o polinômio minimal, encontrar os autovalores e autovetores, determinar as bases e dimensões de cada autoespaço, e verificar se o operador é diagonalizável. Se for, vamos encontrar uma base de autovetores e escrever a matriz desse operador nessa nova base. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, autovalores, autovetores e diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz associada ao operador
. Sabemos que
, então a matriz será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o polinômio característico. Ele é dado por:
Onde
é a matriz identidade. Calculando:
O determinante dessa matriz é:
Então, o polinômio característico é:
Passo 4
O próximo passo é encontrar os autovalores resolvendo
:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos
.
Para
:
Vamos resolver o sistema:
Da segunda equação,
. Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor associado a
é:
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação,
. Escolhendo
, temos
. Então, um autovetor associado a
é:
Passo 6
Vamos agora determinar as bases e a dimensão de cada autoespaço.
-
Para
, a base do autoespaço é e a dimensão é 1. -
Para
, a base do autoespaço é e a dimensão é 1.
Passo 7
Para verificar se o operador
é diagonalizável, precisamos ver se existem duas autovetores linearmente independentes. Como temos dois autovalores distintos e cada um tem um autovetor, eles são linearmente independentes. Portanto,
é diagonalizável.
Passo 8
Finalmente, vamos formar uma base de autovetores e escrever a matriz de
nessa nova base.
A base formada por autovetores é:
Na base
, a matriz de
é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
O operador
é diagonalizável. Uma base de autovetores é
e a matriz de
nessa base é: