Para cada operador linear abaixo, calcule o polinômio característico, polinômio minimal, os autovalores e os autovetores, encontre base e a dimensão de cada autoespaço. Em seguida, determine se o operador é diagonalizável. Em caso afirmativo, exiba uma base formada por autovetores e escreva a matriz desse operador nessa base.
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(2 y, x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um operador linear definido por . Nosso objetivo é calcular o polinômio característico, o polinômio minimal, encontrar os autovalores e autovetores, determinar as bases e dimensões de cada autoespaço, e verificar se o operador é diagonalizável. Se for, vamos encontrar uma base de autovetores e escrever a matriz desse operador nessa nova base. Para tudo isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como determinantes, autovalores, autovetores e diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz associada ao operador A = 0 & 2 1 & 0 . Sabemos que , então a matriz será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o polinômio característico. Ele é dado por:
p(lambda) = det(A - lambda I)
Onde A - lambda I = -lambda & 2 1 & -lambda é a matriz identidade. Calculando:
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda) - (2)(1) = lambda^2 - 2
O determinante dessa matriz é:
p(lambda) = lambda^2 - 2
Então, o polinômio característico é:

Passo 4

O próximo passo é encontrar os autovalores resolvendo lambda^2 - 2 = 0 Rightarrow lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2 :
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos A - lambda1 I = -raiz2 & 2 1 & -raiz2 .
Para -raiz2 x + 2 y = 0 x - raiz2 y = 0 :
v1 = raiz2 1
Vamos resolver o sistema:
A - lambda2 I = raiz2 & 2 1 & raiz2
Da segunda equação, raiz2 x + 2 y = 0 x + raiz2 y = 0 . Podemos escolher v2 = -raiz2 1 , então . Assim, um autovetor associado a é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Escolhendo , temos . Então, um autovetor associado a é:

Passo 6

Vamos agora determinar as bases e a dimensão de cada autoespaço.
  • Para , a base do autoespaço é e a dimensão é 1.
  • Para , a base do autoespaço é e a dimensão é 1.

Passo 7

Para verificar se o operador é diagonalizável, precisamos ver se existem duas autovetores linearmente independentes. Como temos dois autovalores distintos e cada um tem um autovetor, eles são linearmente independentes. Portanto, é diagonalizável.

Passo 8

Finalmente, vamos formar uma base de autovetores e escrever a matriz de B = v1, v2 = raiz2 1 , -raiz2 1 nessa nova base.
A base formada por autovetores é:
[T]B = raiz2 & 0 0 & -raiz2
Na base , a matriz de é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

O operador raiz2 1 é diagonalizável. Uma base de autovetores é -raiz2 1 e a matriz de [T]B = raiz2 & 0 0 & -raiz2 nessa base é:

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