Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
a) foco F(3,4) e diretriz d: x-1=0;
4(x-2)=(y-4)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola usando o foco e a diretriz . Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica, especificamente sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o foco e a diretriz. O foco é um ponto fixo que ajuda a definir a parábola, e a diretriz é uma reta que também faz parte da definição. A parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes do foco e da diretriz.

Passo 3

Como a diretriz é , isso significa que ela é uma reta vertical passando pelo ponto . Portanto, a parábola será horizontal, abrindo para a direita ou para a esquerda.

Passo 4

Vamos determinar se a parábola abre para a direita ou para a esquerda. O foco está no ponto e a diretriz está à esquerda desse ponto . Isso significa que a parábola abre para a direita.

Passo 5

Para parábolas horizontais, a equação padrão é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar o vértice. Sabemos que o vértice está exatamente no meio entre o foco e a diretriz. A distância entre a diretriz h = 1 + 1 = 2 e o foco k = 4 é . Então, o vértice está a unidade de cada lado.
Então, o vértice é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor de . Como a parábola abre para a direita e a distância do vértice ao foco é , temos .

Passo 8

Substituindo (y - 4)^2 = 4 times 1 times (x - 2) , (y - 4)^2 = 4(x - 2) e na equação padrão:

Resposta

A equação da parábola é .

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