Determine quais das seguintes aplicações lineares:
definida por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação
definida por
. O objetivo aqui é descobrir se essa transformação é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e quais são as propriedades que ela deve obedecer.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função
que leva vetores de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Isso significa que, se você somar dois vetores e depois aplicar a transformação, dá o mesmo resultado que aplicar a transformação em cada vetor separadamente e depois somar os resultados. E o mesmo vale para escalar um vetor antes ou depois de transformar.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa transformação
. Para verificar se
é linear, precisamos testar se ela respeita as duas propriedades que mencionei.
Primeiro, vamos verificar a adição. Suponha que temos dois vetores
e
. Então:
Agora, vamos calcular
:
Observamos que
tem
, que expande para
, enquanto
tem
. Esses não são iguais a menos que
, o que não é garantido. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita.
Passo 4
Além disso, vamos conferir a multiplicação por escalar. Seja
um número real e
. Então:
Por outro lado:
Aqui, vemos que o segundo componente de
é
, enquanto em
é
. Esses dois resultados só são iguais se
ou se
, o que não é sempre o caso. Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita.
Resposta
Como a transformação
não satisfaz as propriedades da adição e da multiplicação por escalar, concluímos que
não é uma aplicação linear.