Determine quais das seguintes aplicações lineares: T: R^2 R^2 definida por T(x, y)=(6 x, x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação definida por . O objetivo aqui é descobrir se essa transformação é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é uma aplicação linear e quais são as propriedades que ela deve obedecer.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma função que leva vetores de um espaço vetorial para outro (ou para ele mesmo) é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Isso significa que, se você somar dois vetores e depois aplicar a transformação, dá o mesmo resultado que aplicar a transformação em cada vetor separadamente e depois somar os resultados. E o mesmo vale para escalar um vetor antes ou depois de transformar.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa transformação T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (6(x1 + x2), (x1 + x2)^2 + (y1 + y2)^2) . Para verificar se T(u) + T(v) = (6x1, x1^2 + y1^2) + (6x2, x2^2 + y2^2) = (6x1 + 6x2, x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2) é linear, precisamos testar se ela respeita as duas propriedades que mencionei.
Primeiro, vamos verificar a adição. Suponha que temos dois vetores e . Então:
Agora, vamos calcular :
Observamos que tem , que expande para , enquanto tem . Esses não são iguais a menos que , o que não é garantido. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita.

Passo 4

Além disso, vamos conferir a multiplicação por escalar. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (6(cx), (cx)^2 + (cy)^2) = (6c x, c^2x^2 + c^2y^2) = c(6x, c x^2 + c y^2) um número real e cT(u) = c(6x, x^2 + y^2) = (6c x, c(x^2 + y^2)) = (6c x, c x^2 + c y^2) . Então:
Por outro lado:
Aqui, vemos que o segundo componente de é , enquanto em é . Esses dois resultados só são iguais se ou se , o que não é sempre o caso. Assim, a propriedade da multiplicação por escalar também não é satisfeita.

Resposta

Como a transformação não satisfaz as propriedades da adição e da multiplicação por escalar, concluímos que não é uma aplicação linear.

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