Seja dada por . Determine a matriz dessa transformação linear em relação às seguintes bases:
a) bases canônicas em e .
b) base canônica em e base em .
c) base em e base em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a matriz que representa essa transformação em relação às bases que foram pedidas nas partes a), b) e c). Para isso, vamos precisar lembrar como representamos transformações lineares em matrizes usando diferentes bases.
Passo 2
Parte a) Bases canônicas em e :
Primeiro, vamos entender o que são bases canônicas. Na , a base canônica é e na é .
Passo 3
Para encontrar a matriz da transformação nas bases canônicas, aplicamos a cada vetor da base de e organizamos os resultados como colunas da matriz.
Vamos aplicar aos vetores da base canônica de :
Passo 4
Agora, organizamos esses resultados como colunas da matriz:
Passo 5
Resposta da parte a):
A matriz da transformação -1 & 3 1 & 0 2 & 1 nas bases canônicas é:
Passo 6
Parte b) Base canônica em [M]B^B' = [IB']^-1 cdot [T]B^B' e base em :
Agora, a base de chegada não é a canônica. Precisamos encontrar a matriz de relativa às bases dadas. Para isso, vamos usar a relação:
Mas de forma mais simples, vamos expressar as imagens dos vetores da base de na nova base de (\mathbb{R}^{3}}.
Passo 7
Primeiro, aplicamos aos vetores da base canônica de :
Agora, queremos expressar esses vetores na nova base .
Passo 8
Vamos resolver o sistema para encontrar os coeficientes:
Para a + b = -1 0 + 2b - c = 1 a + b + c = 2 :
Isso resulta em:
a + b = 3 0 + 2b - c = 0 a + b + c = 1
Resolvendo, encontramos , , .
Para :
Isso resulta em:
Resolvendo, encontramos , , .
Passo 9
Agora, a matriz da transformação -2 & 2 1 & 1 3 & -2 na base canônica de e na nova base de é formada pelos coeficientes encontrados:
Passo 10
Resposta da parte b):
A matriz da transformação -2 & 2 1 & 1 3 & -2 nas bases especificadas é:
Passo 11
Parte c) Base em e base em :
Agora, ambas as bases não são canônicas. Precisamos encontrar a matriz de relativa a essas novas bases.
Passo 12
Primeiro, aplicamos aos vetores da nova base de :
Agora, queremos expressar esses vetores na base de .
Passo 13
Vamos resolver os sistemas:
Para a + b = 4 0 + 2b - c = -1 a + b + c = -1 :
a + b = 2 0 + 2b - c = 1 a + b + c = 3
Resolvendo, encontramos , , .
Para :
Resolvendo, encontramos , , .
Passo 14
Agora, organizamos os coeficientes encontrados como colunas da matriz:
3 & 1 1 & 1 -4 & 1
Passo 15
Resposta da parte c):
A matriz da transformação 3 & 1 1 & 1 -4 & 1 nas bases especificadas é:
Resposta
Conforme detalhado nos passos acima, as matrizes da transformação linear -1 & 3 1 & 0 2 & 1 nas diferentes bases são: