Seja T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(-x+3 y, x, 2 x+y). Determine a matriz dessa transformação linear em relação às seguintes bases:
a) bases canônicas em R^2 e R^3.
b) base canônica em R^2 e base (1,0,1),(1,2,1),(0,-1,1) em R^3.
c) base (-1,1),(1,1) em R^2 e base (1,0,1),(1,2,1),(0,-1,1) em R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a matriz que representa essa transformação em relação às bases que foram pedidas nas partes a), b) e c). Para isso, vamos precisar lembrar como representamos transformações lineares em matrizes usando diferentes bases.

Passo 2

Parte a) Bases canônicas em e :
Primeiro, vamos entender o que são bases canônicas. Na , a base canônica é e na é .

Passo 3

Para encontrar a matriz da transformação nas bases canônicas, aplicamos a cada vetor da base de e organizamos os resultados como colunas da matriz.
Vamos aplicar aos vetores da base canônica de :

Passo 4

Agora, organizamos esses resultados como colunas da matriz:
-1 & 3 1 & 0 2 & 1

Passo 5

Resposta da parte a):
A matriz da transformação -1 & 3 1 & 0 2 & 1 nas bases canônicas é:

Passo 6

Parte b) Base canônica em [M]B^B' = [IB']^-1 cdot [T]B^B' e base em :
Agora, a base de chegada não é a canônica. Precisamos encontrar a matriz de relativa às bases dadas. Para isso, vamos usar a relação:
Mas de forma mais simples, vamos expressar as imagens dos vetores da base de na nova base de (\mathbb{R}^{3}}.

Passo 7

Primeiro, aplicamos aos vetores da base canônica de :
Agora, queremos expressar esses vetores na nova base .

Passo 8

Vamos resolver o sistema para encontrar os coeficientes:
Para a + b = -1 0 + 2b - c = 1 a + b + c = 2 :
Isso resulta em:
a + b = 3 0 + 2b - c = 0 a + b + c = 1
Resolvendo, encontramos , , .
Para :
Isso resulta em:
Resolvendo, encontramos , , .

Passo 9

Agora, a matriz da transformação -2 & 2 1 & 1 3 & -2 na base canônica de e na nova base de é formada pelos coeficientes encontrados:

Passo 10

Resposta da parte b):
A matriz da transformação -2 & 2 1 & 1 3 & -2 nas bases especificadas é:

Passo 11

Parte c) Base em e base em :
Agora, ambas as bases não são canônicas. Precisamos encontrar a matriz de relativa a essas novas bases.

Passo 12

Primeiro, aplicamos aos vetores da nova base de :
Agora, queremos expressar esses vetores na base de .

Passo 13

Vamos resolver os sistemas:
Para a + b = 4 0 + 2b - c = -1 a + b + c = -1 :
a + b = 2 0 + 2b - c = 1 a + b + c = 3
Resolvendo, encontramos , , .
Para :
Resolvendo, encontramos , , .

Passo 14

Agora, organizamos os coeficientes encontrados como colunas da matriz:
3 & 1 1 & 1 -4 & 1

Passo 15

Resposta da parte c):
A matriz da transformação 3 & 1 1 & 1 -4 & 1 nas bases especificadas é:

Resposta

Conforme detalhado nos passos acima, as matrizes da transformação linear -1 & 3 1 & 0 2 & 1 nas diferentes bases são:
a)
-2 & 2 1 & 1 3 & -2
b)
3 & 1 1 & 1 -4 & 1
c)

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