Determine quais das seguintes aplicações lineares: T: R R dada por T(x)=|x|.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . O que precisamos descobrir é se essa função é uma aplicação linear. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de álgebra linear, como a definição de aplicação linear e as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma aplicação linear. Uma função é considerada linear se satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores (ou números, no caso de ) e , e para todo escalar :
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade escalar:
Se a função satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma aplicação linear.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade. Pegamos dois números quaisquer, por exemplo, e .
Como e , vemos que . Portanto, a função não satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 4

Mesmo que já tenhamos uma conclusão, vamos verificar a homogeneidade escalar para completar o entendimento. Tomemos e .
Aqui, e , e novamente . Isso mostra que a função também não satisfaz a propriedade de homogeneidade escalar.

Resposta

A função não é uma aplicação linear.

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