Determine quais das seguintes aplicações lineares:
dada por
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. O que precisamos descobrir é se essa função é uma aplicação linear. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de álgebra linear, como a definição de aplicação linear e as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma aplicação linear. Uma função
é considerada linear se satisfaz duas propriedades principais para todos os vetores (ou números, no caso de
)
e
, e para todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade escalar:
Se a função
satisfaz essas duas propriedades, então ela é uma aplicação linear.
Passo 3
Vamos verificar a aditividade. Pegamos dois números quaisquer, por exemplo,
e
.
Como
e
, vemos que
. Portanto, a função não satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 4
Mesmo que já tenhamos uma conclusão, vamos verificar a homogeneidade escalar para completar o entendimento. Tomemos
e
.
Aqui,
e
, e novamente
. Isso mostra que a função também não satisfaz a propriedade de homogeneidade escalar.
Resposta
A função
não é uma aplicação linear.