Seja T o operador linear de M2(R) definido por T(X)=B X, onde
B=[ll 3 & 0 1 & 2 ]
determine ker(T) e uma base da imagem de T .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo (ou kernel) do operador linear T e uma base para a imagem de T. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com operadores lineares que atuam em matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o operador T definido por T(X) = B X, onde B é a matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de T, ou seja, ker(T). O núcleo é o conjunto de todas as matrizes X em M2(R) que, quando multiplicadas pela matriz B, resultam na matriz zero. Matematicamente, isso é escrito como:
BX = 0
Nosso objetivo aqui é encontrar todas as matrizes X que satisfazem essa equação.

Passo 3

Vamos chamar a matriz X de:
X = x11 & x12 x21 & x22
Agora, multiplicando B por X, temos:
BX = 3 & 0 1 & 2 x11 & x12 x21 & x22 = 3x11 + 0x21 & 3x12 + 0x22 1x11 + 2x21 & 1x12 + 2x22
Queremos que isso seja igual à matriz zero:
3x11 & 3x12 x11 + 2x21 & x12 + 2x22 = 0 & 0 0 & 0

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações que surge:
  1. 3x11 = 0
  2. 3x12 = 0
  3. x11 + 2x21 = 0
  4. x12 + 2x22 = 0
Resolvendo a primeira equação: 3x11 = 0 nos dá x11 = 0.
Da segunda equação: 3x12 = 0 resulta em x12 = 0.
Substituindo x11 = 0 na terceira equação:
0 + 2x21 = 0 x21 = 0
E substituindo x12 = 0 na quarta equação:
0 + 2x22 = 0 x22 = 0

Passo 5

Então, todas as entradas de X são zero:
X = 0 & 0 0 & 0
Isso significa que a única matriz que satisfaz BX = 0 é a matriz zero.

Passo 6

Portanto, o núcleo de T é apenas a matriz zero, ou seja:
ker(T) = 0

Passo 7

Agora, vamos encontrar uma base para a imagem de T, Im(T). A imagem de T consiste em todas as matrizes que podem ser obtidas multiplicando B por alguma matriz X em M2(R).
Como B é uma matriz invertível (seu determinante é diferente de zero: det(B) = 3 times 2 - 0 times 1 = 6 neq 0), a multiplicação por B é uma transformação linear invertível. Isso significa que a imagem de T é todo o espaço M2(R).

Passo 8

Para encontrar uma base para M2(R), podemos usar a base padrão, que consiste nas matrizes com um único 1 e o resto zeros. Essas matrizes são:
E11 = 1 & 0 0 & 0 , E12 = 0 & 1 0 & 0 , E21 = 0 & 0 1 & 0 , E22 = 0 & 0 0 & 1

Passo 9

Já que a imagem de T é todo M2(R), uma base para Im(T) será exatamente essa base padrão:
E11, E12, E21, E22

Resposta

O núcleo de T é ker(T) = 0 e uma base para a imagem de T é 1 & 00 & 0, 0 & 10 & 0, 0 & 01 & 0, 0 & 00 & 1 .

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