Seja
operador linear de
definido por
, onde
determine
e uma base da imagem de T .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o núcleo (ou kernel) do operador linear
e uma base para a imagem de
. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com operadores lineares que atuam em matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o operador
definido por
, onde
é a matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de
, ou seja,
. O núcleo é o conjunto de todas as matrizes
em
que, quando multiplicadas pela matriz
, resultam na matriz zero. Matematicamente, isso é escrito como:
Nosso objetivo aqui é encontrar todas as matrizes
que satisfazem essa equação.
Passo 3
Vamos chamar a matriz
de:
Agora, multiplicando
por
, temos:
Queremos que isso seja igual à matriz zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações que surge:
Resolvendo a primeira equação:
nos dá
.
Da segunda equação: resulta em
.
Da segunda equação:
Substituindo
na terceira equação:
→
E substituindo
na quarta equação:
→
Passo 5
Então, todas as entradas de
são zero:
Isso significa que a única matriz que satisfaz
é a matriz zero.
Passo 6
Portanto, o núcleo de
é apenas a matriz zero, ou seja:
Passo 7
Agora, vamos encontrar uma base para a imagem de
,
. A imagem de
consiste em todas as matrizes que podem ser obtidas multiplicando
por alguma matriz
em
.
Como
é uma matriz invertível (seu determinante é diferente de zero:
), a multiplicação por
é uma transformação linear invertível. Isso significa que a imagem de
é todo o espaço
.
Passo 8
Para encontrar uma base para
, podemos usar a base padrão, que consiste nas matrizes com um único 1 e o resto zeros. Essas matrizes são:
Passo 9
Já que a imagem de
é todo
, uma base para
será exatamente essa base padrão:
Resposta
O núcleo de
é
e uma base para a imagem de
é
.