Para cada par de funções f, g abaixo encontre o domínio e as expressões de f circ g, f circ f, g circ f e g circ g.
a) f: R R, f(x)=x^3
a) g:[1, infty) R, g(x)=raizx-1
b) & f: R^* R, f(x)=-1x & g:(-infty, 2] R, g(x)=raiz2-x
c) f: R^* R, f(x)=1x
g: R backslash2,3 R, g(x)=1(x-2)(x-3)
d) llf: R R, f(x)=sen(x) g: R+ R, & g(x)=raizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver cada parte desse exercício que envolve funções, domínio e composição de funções. Vamos precisar entender o que são domínio e composição de funções para conseguir encontrar as expressões pedidas.

Parte a)

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
  • com domínio (todos os números reais).
  • com domínio .
Para encontrar a composição das funções, precisamos garantir que o valor de saída de uma função esteja dentro do domínio da outra.

Passo 3

Domínio de (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(raizx - 1) = (raizx - 1)^3 = (x - 1)^3/2 :
A função só está definida para , e como aceita todos os reais, o domínio de será o mesmo de , ou seja, .
Expressão de :

Passo 4

Domínio de (f circ f)(x) = f(f(x)) = f(x^3) = (x^3)^3 = x^9 :
Já que está definido para todos os reais, a composição também terá domínio .
Expressão de :

Passo 5

Domínio de (g circ f)(x) = raizx^3 - 1 :
Para , precisamos que , ou seja, .
Expressão de :

Passo 6

Domínio de (g circ g)(x) = raizraizx - 1 - 1 :
Para , precisamos que:
  1. (para ser definido), ou seja, .
  2. , ou seja, , elevando ao quadrado: .
Portanto, o domínio de é .
Expressão de :

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte do exercício com funções diferentes:
  • com domínio (todos os reais exceto zero).
  • com domínio .
Vamos encontrar os domínios e as composições das funções.

Passo 8

Domínio de (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(raiz2 - x) = -1raiz2 - x :
está definido para . Além disso, exige que , ou seja, .
Portanto, o domínio de é .
Expressão de :

Passo 9

Domínio de (f circ f)(x) = f(f(x)) = f(-1x) = -1-1x = x :
está definido para . Para , precisamos que , o que sempre é verdade já que nunca é zero. Assim, o domínio de é .
Expressão de :

Passo 10

Domínio de (g circ f)(x) = raiz2 + 1x :
está definido para . Para , precisamos que .
Resolvendo :
  • Se : sempre.
  • Se : .
Portanto, o domínio de é .
Expressão de :

Passo 11

Domínio de (g circ g)(x) = raiz2 - raiz2 - x :
está definido para . Para , precisamos:
  1. .
  2. .
Portanto, o domínio de é .
Expressão de :

Passo 12

Vamos em frente para a terceira parte:
  • com domínio .
  • com domínio .
Vamos encontrar os domínios e composições dessas funções.

Passo 13

Domínio de 1(x - 2)(x - 3) neq 0 Rightarrow (x - 2)(x - 3) neq infty :
Para (f circ g)(x) = (x - 2)(x - 3) , precisamos que .
Na verdade, nunca é zero, já que nunca acontece. Portanto, o domínio de é o domínio de , ou seja, .
Expressão de :

Passo 14

Domínio de f(f(x)) = f(1x) = 11x = x :
(f circ f)(x) = x está definido para . Para , temos:
Então, o domínio de é o mesmo de , ou seja, .
Expressão de :

Passo 15

Domínio de (g circ f)(x) = 1(1x - 2)(1x - 3) = x^2(1 - 2x)(1 - 3x) :
Para , precisamos que:
  1. .
  2. .
Além disso, por causa do domínio de .
Portanto, o domínio de é .
Expressão de :

Passo 16

Domínio de g(x) = 2 Rightarrow 1(x - 2)(x - 3) = 2 Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 12 :
Para g(x) = 3 Rightarrow 1(x - 2)(x - 3) = 3 Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 13 , precisamos que e .
Resolvendo:
Essas equações determinam valores específicos de que devem ser excluídos do domínio.
Portanto, o domínio de é çõ.

Passo 17

Por último, vamos para a quarta parte:
  • com domínio .
  • com domínio (números reais não negativos).
Vamos determinar os domínios e composições dessas funções.

Passo 18

Domínio de (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(raizx) = sin(raizx) :
está definido para . Como aceita todos os reais, o domínio de será .
Expressão de :

Passo 19

Domínio de (f circ f)(x) = sin(sin(x)) :
está definido para todos os reais. Para , como sempre retorna valores entre -1 e 1, e aceita todos os reais, o domínio de é .
Expressão de :

Passo 20

Domínio de (g circ f)(x) = raizsin(x) :
está definido para todos os reais, mas só aceita . Portanto, precisamos que .
A função para nos intervalos onde o seno é não negativo, ou seja, em cada para todo inteiro .
Expressão de :

Passo 21

Domínio de (g circ g)(x) = raizraizx = x^1/4 :
Para , precisamos que para ser definido, e , o que já é garantido. Então, o domínio de é .
Expressão de :

Resposta

  • Domínios:
  • Composições:

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