Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
.
a)
a)
b)
c)
d)
a)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver cada parte desse exercício que envolve funções, domínio e composição de funções. Vamos precisar entender o que são domínio e composição de funções para conseguir encontrar as expressões pedidas.
Parte a)
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções dadas:
-
com domínio (todos os números reais). -
com domínio .
Para encontrar a composição das funções, precisamos garantir que o valor de saída de uma função esteja dentro do domínio da outra.
Passo 3
Domínio de
:
A função só está definida para
, e como
aceita todos os reais, o domínio de
será o mesmo de
, ou seja,
.
A função
Expressão de
:
Passo 4
Domínio de
:
Já que está definido para todos os reais, a composição
também terá domínio
.
Já que
Expressão de
:
Passo 5
Domínio de
:
Para , precisamos que
, ou seja,
.
Para
Expressão de
:
Passo 6
Domínio de
:
Para , precisamos que:
Para
-
(para ser definido), ou seja, . -
, ou seja, , elevando ao quadrado: → .
Portanto, o domínio de
é
.
Expressão de
:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda parte do exercício com funções diferentes:
-
com domínio (todos os reais exceto zero). -
com domínio .
Vamos encontrar os domínios e as composições das funções.
Passo 8
Domínio de
:
está definido para
. Além disso,
exige que
, ou seja,
→
→
.
Portanto, o domínio de
é
.
Expressão de
:
Passo 9
Domínio de
:
está definido para
. Para
, precisamos que
, o que sempre é verdade já que
nunca é zero. Assim, o domínio de
é
.
Expressão de
:
Passo 10
Domínio de
:
está definido para
. Para
, precisamos que
.
Resolvendo
:
- Se
: sempre. - Se
: → → .
Portanto, o domínio de
é
.
Expressão de
:
Passo 11
Domínio de
:
está definido para
. Para
, precisamos:
-
→ . -
→ → → .
Portanto, o domínio de
é
.
Expressão de
:
Passo 12
Vamos em frente para a terceira parte:
-
com domínio . -
com domínio .
Vamos encontrar os domínios e composições dessas funções.
Passo 13
Domínio de
:
Para , precisamos que
.
Para
Na verdade,
nunca é zero, já que
nunca acontece. Portanto, o domínio de
é o domínio de
, ou seja,
.
Expressão de
:
Passo 14
Domínio de
:
está definido para
. Para
, temos:
Então, o domínio de
é o mesmo de
, ou seja,
.
Expressão de
:
Passo 15
Domínio de
:
Para , precisamos que:
Para
-
→ → . -
→ → .
Além disso,
por causa do domínio de
.
Portanto, o domínio de
é
.
Expressão de
:
Passo 16
Domínio de
:
Para , precisamos que
e
.
Para
Resolvendo:
Essas equações determinam valores específicos de
que devem ser excluídos do domínio.
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 17
Por último, vamos para a quarta parte:
-
com domínio . -
com domínio (números reais não negativos).
Vamos determinar os domínios e composições dessas funções.
Passo 18
Domínio de
:
está definido para
. Como
aceita todos os reais, o domínio de
será
.
Expressão de
:
Passo 19
Domínio de
:
está definido para todos os reais. Para
, como
sempre retorna valores entre -1 e 1, e
aceita todos os reais, o domínio de
é
.
Expressão de
:
Passo 20
Domínio de
:
está definido para todos os reais, mas
só aceita
. Portanto, precisamos que
.
A função
para
nos intervalos onde o seno é não negativo, ou seja, em cada
para todo inteiro
.
Expressão de
:
Passo 21
Domínio de
:
Para , precisamos que
para
ser definido, e
, o que já é garantido. Então, o domínio de
é
.
Para
Expressão de
:
Resposta
- Domínios:
-
- Composições:
-
Exercícios relacionados
Negue as seguintes proposições:
(e) Existe um número natural tal que
é par e divisível por 3 .
(e) Existe um número natural
Sejam dadas três proposições
e
. Construa a tabela verdade para as proposições seguintes proposições:
(d) .
(d)
Dadas as funções
e
, determine os domínios e as imagens das funções compostas
e
.
Sabendo que uma função
é par, o que podemos concluir sobre funções:
,
e
? E se
for uma função ímpar?