Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve composição de funções. A gente tem duas funções dadas:
-
com domínio (todos os reais exceto zero). -
com domínio (todos os reais exceto 2 e 3).
O objetivo é encontrar o domínio de cada função composta
,
,
e
, além das expressões dessas composições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a composição de funções. Quando a gente tem
, isso quer dizer que usamos a função
primeiro e depois aplicamos
no resultado de
. Matematicamente, é:
Passo 3
Vamos começar encontrando
:
Agora, precisamos determinar o domínio de
. O domínio de
é
, mas precisamos garantir que o resultado de
esteja no domínio de
. Como
está definido para todos os reais exceto zero, precisamos que
.
Isso é sempre verdadeiro, já que o denominador nunca é zero para
. Portanto, o domínio de
é o mesmo que o domínio de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
:
Para o domínio de
, precisamos que
esteja no domínio de
e que
também esteja no domínio de
. Como
, precisamos que
. Além disso,
, o que já é garantido porque
.
Passo 5
Vamos para
:
Para simplificar, vamos resolver o denominador:
Portanto:
Agora, o domínio de
requer que:
-
esteja no domínio de : . -
esteja no domínio de : e .
Resolvendo essas últimas condições:
-
→ -
→
Assim, o domínio de
é:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular
:
Essa expressão é bastante complexa, mas o importante aqui é determinar o domínio. Para que
esteja definido:
-
deve estar no domínio de : . -
deve estar no domínio de : e .
Resolvendo essas condições:
-
→ -
→
Portanto, o domínio de
é:
Resposta
As composições e seus domínios são:
-
com domínio . -
com domínio . -
com domínio . -
com domínio .
Exercícios relacionados
5 (2,0) - Determine, justificando, a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as seguintes condições de contorno
e se as extremidades
e
são isoladas. Considere, na equação do calor,
.
Denotando por
a função identidade, mostre que para toda função
vale que:
a) e
a)
Para as seguintes funções
, decomponha-a como compostas de funções mais simples
c)
c)