5 (2,0) - Determine, justificando, a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as seguintes condições de contorno
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura em estado estacionário de uma chapa retangular. Isso quer dizer que a temperatura não está mudando com o tempo. Para isso, vamos usar a Equação de Laplace, que descreve como a temperatura se distribui em um espaço sem fontes ou sumidouros de calor. As condições de contorno que a gente tem são:
- Nas bordas
x = 0
ex = π
, a temperaturau
é zero para todoy
entre0
eπ
. - Nas bordas
y = 0
, a temperaturau
é zero para todox
entre0
eπ
. - Na borda
y = π
, a temperaturau
é igual ax²
para todox
entre0
eπ
.
Vamos precisar usar séries de Fourier para expandir a função
x²
e resolver a Equação de Laplace com essas condições.Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Laplace em duas variáveis é dada por:
Como estamos lidando com um retângulo e condições de contorno específicas, é uma boa ideia usar o método da separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução
u(x, y)
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x
e outra que depende só de y
:Passo 3
Substituindo
u(x, y) = X(x)Y(y)
na Equação de Laplace, temos:Dividindo ambos os lados por
X(x)Y(y)
, obtemos:Isso nos leva a:
Aqui,
λ
é uma constante de separação.Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
- Para
X(x)
:
- Para
Y(y)
:
Com as condições de contorno
u(0, y) = 0
e u(π, y) = 0
, isso implica que X(0) = 0
e X(π) = 0
.Passo 5
Resolvendo a equação para
X(x)
com as condições de contorno, obtemos soluções do tipo:Onde
n
é um número inteiro positivo. Isso acontece porque as soluções que satisfazem X(0) = 0
e X(π) = 0
são senos de múltiplos de x
.Passo 6
Para cada valor de
n
, a equação para Y(y)
se torna:A solução geral dessa equação é:
Onde
A_n
e B_n
são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.Passo 7
Aplicando a condição de contorno
u(x, 0) = 0
, temos:Então,
Y_n(y)
simplifica para:Agora, aplicamos a condição
u(x, π) = x^2
. Isso nos dá:Passo 8
Para encontrar os coeficientes
B_n
, vamos expandir x^2
em uma série de senos. Isso é feito usando a série de Fourier para uma função par no intervalo [0, π]
:Os coeficientes
C_n
são dados por:Passo 9
Depois de calcular os coeficientes
C_n
, podemos relacioná-los com B_n
da seguinte forma:Portanto,
Passo 10
Finalmente, juntando tudo, a solução para a temperatura em estado estacionário é:
Onde os
C_n
são os coeficientes da série de Fourier de x^2
:Resposta
A temperatura em estado estacionário da chapa retangular é dada pela série:
Exercícios relacionados
e se as extremidades
e
são isoladas. Considere, na equação do calor,
.
(b) uma série de cossenos.
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
c)
c)
Denotando por
a função identidade, mostre que para toda função
vale que:
a) e
a)