5 (2,0) - Determine, justificando, a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as seguintes condições de contorno

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a temperatura em estado estacionário de uma chapa retangular. Isso quer dizer que a temperatura não está mudando com o tempo. Para isso, vamos usar a Equação de Laplace, que descreve como a temperatura se distribui em um espaço sem fontes ou sumidouros de calor. As condições de contorno que a gente tem são:
  • Nas bordas x = 0 e x = π, a temperatura u é zero para todo y entre 0 e π.
  • Nas bordas y = 0, a temperatura u é zero para todo x entre 0 e π.
  • Na borda y = π, a temperatura u é igual a para todo x entre 0 e π.
Vamos precisar usar séries de Fourier para expandir a função e resolver a Equação de Laplace com essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Equação de Laplace em duas variáveis é dada por:
Como estamos lidando com um retângulo e condições de contorno específicas, é uma boa ideia usar o método da separação de variáveis. Isso significa que vamos supor que a solução u(x, y) pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de x e outra que depende só de y:

Passo 3

Substituindo u(x, y) = X(x)Y(y) na Equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por X(x)Y(y), obtemos:
Isso nos leva a:
Aqui, λ é uma constante de separação.

Passo 4

Agora, temos duas equações ordinárias:
  1. Para X(x):
  1. Para Y(y):
Com as condições de contorno u(0, y) = 0 e u(π, y) = 0, isso implica que X(0) = 0 e X(π) = 0.

Passo 5

Resolvendo a equação para X(x) com as condições de contorno, obtemos soluções do tipo:
Onde n é um número inteiro positivo. Isso acontece porque as soluções que satisfazem X(0) = 0 e X(π) = 0 são senos de múltiplos de x.

Passo 6

Para cada valor de n, a equação para Y(y) se torna:
A solução geral dessa equação é:
Onde A_n e B_n são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 7

Aplicando a condição de contorno u(x, 0) = 0, temos:
Então, Y_n(y) simplifica para:
Agora, aplicamos a condição u(x, π) = x^2. Isso nos dá:

Passo 8

Para encontrar os coeficientes B_n, vamos expandir x^2 em uma série de senos. Isso é feito usando a série de Fourier para uma função par no intervalo [0, π]:
Os coeficientes C_n são dados por:

Passo 9

Depois de calcular os coeficientes C_n, podemos relacioná-los com B_n da seguinte forma:
Portanto,

Passo 10

Finalmente, juntando tudo, a solução para a temperatura em estado estacionário é:
Onde os C_n são os coeficientes da série de Fourier de x^2:

Resposta

A temperatura em estado estacionário da chapa retangular é dada pela série:

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c)
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a) e