4 (2, 0) - Determine, justificando, a temperatura u(x, t) em uma haste de comprimento 2 , se a temperatura inicial é
f(x) = { 1, se 0 < x <= 1; 0, se 1 <= x < 2 }
e se as extremidades x = 0 e x = 2 são isoladas. Considere, na equação do calor, k=1.

Passo 1

Vamos resolver um problema da equação do calor em uma haste de comprimento 2. Queremos determinar a temperatura ao longo da haste ao longo do tempo, dado que a temperatura inicial é 1 para e 0 para . As extremidades da haste ( e ) estão isoladas, ou seja, não há fluxo de calor através delas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais parciais, especificamente a série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do calor que descreve a distribuição de temperatura ao longo da haste:
Aqui, é a difusividade térmica.

Passo 3

Como as extremidades estão isoladas, as condições de contorno são do tipo Neumann, ou seja, as derivadas espaciais nas extremidades são zero:

Passo 4

A solução geral para pode ser expressa como uma série de Fourier Cosseno devido às condições de contorno de Neumann:
Aqui, os coeficientes são determinados a partir da condição inicial .

Passo 5

Calculamos os coeficientes da série de Fourier usando a condição inicial:
Como para e para , a integral se torna:

Passo 6

Substituindo na expressão de , obtemos a solução completa:

Resposta

A temperatura na haste é dada por:

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