- Determine, justificando, a temperatura
uma haste de comprimento 2 , se a temperatura inicial é
e se as extremidades
e
são isoladas. Considere, na equação do calor,
.
Passo 1
Vamos resolver um problema da equação do calor em uma haste de comprimento 2. Queremos determinar a temperatura
ao longo da haste ao longo do tempo, dado que a temperatura inicial
é 1 para
e 0 para
. As extremidades da haste (
e
) estão isoladas, ou seja, não há fluxo de calor através delas. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais parciais, especificamente a série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do calor que descreve a distribuição de temperatura ao longo da haste:
Aqui,
é a difusividade térmica.
Passo 3
Como as extremidades estão isoladas, as condições de contorno são do tipo Neumann, ou seja, as derivadas espaciais nas extremidades são zero:
Passo 4
A solução geral para
pode ser expressa como uma série de Fourier Cosseno devido às condições de contorno de Neumann:
Aqui, os coeficientes
são determinados a partir da condição inicial
.
Passo 5
Calculamos os coeficientes da série de Fourier usando a condição inicial:
Como
para
e
para
, a integral se torna:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, obtemos a solução completa:
Resposta
A temperatura
na haste é dada por:
Exercícios relacionados
(b) uma série de cossenos.
(a) uma série de senos;
5 (2,0) - Determine, justificando, a temperatura de estado estacionário para uma chapa retangular com as seguintes condições de contorno
Para cada par de funções
abaixo encontre o domínio e as expressões de
,
e
c)
c)