lim x -1 raiz[3]x+1x+1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: queremos encontrar o limite quando se aproxima de da expressão . Isso envolve trabalhar com funções que têm raízes cúbicas e expressões racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para evitar uma indeterminação e calcular o limite de maneira correta.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz[3]-1 + 1-1 + 1 = -1 + 10 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aconteceu uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão de outra maneira para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) em limites, uma boa estratégia é tentar simplificar ou fatorar a expressão. Olhando para o numerador , podemos pensar em uma identidade de fatoração para diferenças de raízes cúbicas, que nos ajudará a simplificar a fração.
A identidade que vamos usar é:
Mesmo que aqui estejamos lidando com uma soma, podemos rearranjar para usar essa fórmula.

Passo 4

Vamos definir a^3 = x e b^3 = (-1)^3 = -1 e a^3 - b^3 = x - (-1) = x + 1 . Assim:
x + 1 = (raiz[3]x - (-1))(raiz[3]x^2 + raiz[3]x cdot (-1) + (-1)^2)
A diferença fica:
x + 1 = (raiz[3]x + 1)(raiz[3]x^2 - raiz[3]x + 1)
Agora, aplicando a identidade de fatoração:
Simplificando:

Passo 5

Voltando à expressão original do limite:
limx to -1 raiz[3]x + 1x + 1
Substituímos x + 1 = (raiz[3]x + 1)(raiz[3]x^2 - raiz[3]x + 1) pela fatoração que encontramos:
raiz[3]x + 1(raiz[3]x + 1)(raiz[3]x^2 - raiz[3]x + 1) = 1raiz[3]x^2 - raiz[3]x + 1
Então a expressão fica:
Isso simplifica a fração, eliminando o termo que causava a indeterminação.

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo limx to -1 1raiz[3]-1^2 - raiz[3]-1 + 1 = 1(-1)^2 - (-1) + 1 = 11 + 1 + 1 = 13 por :

Resposta

O limite é .

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