Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo: queremos encontrar o limite quando
se aproxima de
da expressão
. Isso envolve trabalhar com funções que têm raízes cúbicas e expressões racionais. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para evitar uma indeterminação e calcular o limite de maneira correta.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
Aconteceu uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos simplificar a expressão de outra maneira para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
em limites, uma boa estratégia é tentar simplificar ou fatorar a expressão. Olhando para o numerador
, podemos pensar em uma identidade de fatoração para diferenças de raízes cúbicas, que nos ajudará a simplificar a fração.
A identidade que vamos usar é:
Mesmo que aqui estejamos lidando com uma soma, podemos rearranjar para usar essa fórmula.
Passo 4
Vamos definir
e
. Assim:
A diferença fica:
Agora, aplicando a identidade de fatoração:
Simplificando:
Passo 5
Voltando à expressão original do limite:
Substituímos
pela fatoração que encontramos:
Então a expressão fica:
Isso simplifica a fração, eliminando o termo que causava a indeterminação.
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite substituindo
por
:
Resposta
O limite é
.