Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas e gof, além do domínio respectivo delas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
O que a gente precisa fazer é encontrar as funções compostas e , além de descobrir quais são os domínios dessas funções compostas. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e verificar os valores que fazem com que as expressões dentro das raízes sejam válidas (ou seja, não dêem números negativos).

Passo 2

Vamos começar encontrando , que significa . Isso quer dizer que a gente vai substituir a função dentro da função .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos em :
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio de , que é .
Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de é todos os números reais maiores ou iguais a 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que significa . Isso quer dizer que a gente vai substituir a função dentro da função .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos em :

Passo 5

Vamos determinar o domínio de , que é .
Primeiro, a expressão dentro da primeira raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Além disso, a expressão inteira dentro da segunda raiz também precisa ser maior ou igual a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto, o domínio de é:

Resposta

As funções compostas são:
í
í

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Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas e gof, além do domínio respectivo delas.

Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) não existe.
(b) ( ) A função tem uma descontinuidade removível em , além disso podemos definir uma nova função contínua dada por
que é contínua em 2 .
© ( ) A curva é chamada serpetina. A reta é uma assíntota horizontal.
(d) ( )
(e) ( ) A função definida por

é contínua em todos os pontos.
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota vertical.
(b) ( ) .
© ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(d) ( ) A função é descontínua no ponto .
(e) ( ) O limite .
A população de peixes em um lago está diminuindo devido à contaminação de água por resíduos industriais. A lei fornece uma estimativa do número de espécies vivas, , em função do número de anos transcorridos, , após a instalação do parque industrial na região.
Estime a quantidade de peixes que viviam no lago no ano da instalação do parque industrial.