Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas f o g e gof, além do domínio respectivo delas.
f(x) = raiz(x^2 - 1)
g(x) = raiz(x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
O que a gente precisa fazer é encontrar as funções compostas e , além de descobrir quais são os domínios dessas funções compostas. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e verificar os valores que fazem com que as expressões dentro das raízes sejam válidas (ou seja, não dêem números negativos).

Passo 2

Vamos começar encontrando , que significa . Isso quer dizer que a gente vai substituir a função dentro da função .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos em :
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 3

Agora, vamos determinar o domínio de , que é .
Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero:
Então, o domínio de é todos os números reais maiores ou iguais a 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar , que significa . Isso quer dizer que a gente vai substituir a função dentro da função .
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos em :

Passo 5

Vamos determinar o domínio de , que é .
Primeiro, a expressão dentro da primeira raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Além disso, a expressão inteira dentro da segunda raiz também precisa ser maior ou igual a zero:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Portanto, o domínio de é:

Resposta

As funções compostas são:
í
í

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