Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas
e gof, além do domínio respectivo delas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir as funções compostas
e
para as funções dadas:
Vamos usar conceitos de funções compostas e entender como encontrar o domínio de cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é uma função composta. Quando a gente compõe duas funções, como
, significa que a gente vai aplicar uma função dentro da outra. Especificamente,
. Ou seja, a gente pega o resultado de
e coloca na função
.
Passo 3
Vamos calcular
. Começamos substituindo
na função
:
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função composta. O que significa domínio? É o conjunto de valores de
para os quais a função está definida.
Passo 4
Para que
esteja definida, o que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero, e o denominador não pode ser zero. Então:
-
-
(porque estamos dividindo por )
Vamos resolver a inequação:
Vamos achar os valores críticos onde o numerador ou denominador é zero:
- Numerador:
→ - Denominador:
Agora, analisamos os intervalos determinados por esses valores:
- Para
: é positivo. - Para
: é positivo. - Para
: é negativo.
Então, o domínio de
é
ou
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Novamente, substituímos
na função
:
Vamos determinar o domínio dessa função composta.
Passo 6
Para
estar definida:
- A expressão dentro da raiz deve ser maior que zero (porque a raiz não pode ter denominador zero e o denominador não pode ser zero):
Então, o domínio de
é
.
Resposta
As funções compostas e seus domínios são:
Exercícios relacionados
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) não existe.
(b) ( ) A função tem uma descontinuidade removível em
, além disso podemos definir uma nova função contínua dada por
(a) ( )
(b) ( ) A função
que é contínua em 2 .
© ( ) A curva é chamada serpetina. A reta
é uma assíntota horizontal.
(d) ( )
(e) ( ) A função definida por
é contínua em todos os pontos.
© ( ) A curva
(d) ( )
(e) ( ) A função definida por
é contínua em todos os pontos.
Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas
e gof, além do domínio respectivo delas.
Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas
e gof, além do domínio respectivo delas.
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota vertical.
(b) ( ) .
© ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação
.
(d) ( ) A função é descontínua no ponto
.
(e) ( ) O limite .
(a) ( )
(b) ( )
© ( ) Não existe nenhum número real
(d) ( ) A função
(e) ( ) O limite