Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas e gof, além do domínio respectivo delas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir as funções compostas e para as funções dadas:
Vamos usar conceitos de funções compostas e entender como encontrar o domínio de cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma função composta. Quando a gente compõe duas funções, como , significa que a gente vai aplicar uma função dentro da outra. Especificamente, . Ou seja, a gente pega o resultado de e coloca na função .

Passo 3

Vamos calcular . Começamos substituindo na função :
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função composta. O que significa domínio? É o conjunto de valores de para os quais a função está definida.

Passo 4

Para que esteja definida, o que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero, e o denominador não pode ser zero. Então:
  1. (porque estamos dividindo por )
Vamos resolver a inequação:
Vamos achar os valores críticos onde o numerador ou denominador é zero:
  • Numerador:
  • Denominador:
Agora, analisamos os intervalos determinados por esses valores:
  • Para : é positivo.
  • Para : é positivo.
  • Para : é negativo.
Então, o domínio de é ou .

Passo 5

Agora, vamos calcular . Novamente, substituímos na função :
Vamos determinar o domínio dessa função composta.

Passo 6

Para estar definida:
  1. A expressão dentro da raiz deve ser maior que zero (porque a raiz não pode ter denominador zero e o denominador não pode ser zero):
Então, o domínio de é .

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
í
í

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Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) não existe.
(b) ( ) A função tem uma descontinuidade removível em , além disso podemos definir uma nova função contínua dada por
que é contínua em 2 .
© ( ) A curva é chamada serpetina. A reta é uma assíntota horizontal.
(d) ( )
(e) ( ) A função definida por

é contínua em todos os pontos.
Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas e gof, além do domínio respectivo delas.

Para cada par de funções definidas abaixo, determine as funções compostas e gof, além do domínio respectivo delas.

Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota vertical.
(b) ( ) .
© ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(d) ( ) A função é descontínua no ponto .
(e) ( ) O limite .