Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) lim x -2^+ x-1x^2(x+2)=+infty, neste caso, dizemos que a reta x=-2 é uma assíntota vertical.
(b) ( ) lim x -2 2-|x|2+x=0.
© ( ) Não existe nenhum número real c tal que seja uma raiz da equação x^5-x^2+2 x+3=0.
(d) ( ) A função g(x)=rll2 x^2-5 x-3x-3, & se & x neq 3 6 & se & x=3 é descontínua no ponto x=3.
(e) ( ) O limite lim x +infty -13 x^4+5 x+25 x^2+x+x^3+6 x^4=-136.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos cinco afirmações para verificar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos precisar entender conceitos de limites, assíntotas, continuidade de funções e comportamento de polinômios. Vamos resolver cada item passo a passo!

Parte (a)

Afirmação:
lim x -2^+ x-1x^2(x+2)=+infty, neste caso, dizemos que a reta x=-2 é uma assíntota vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite tendendo a +infty. Isso indica que a função está crescendo sem limites quando x se aproxima de -2 pela direita. Além disso, se uma função tende a infinito em um ponto, isso geralmente significa que há uma assíntota vertical nesse ponto.
Vamos calcular o limite:
lim x -2^+ x-1x^2(x+2)
Quando x se aproxima de -2 pela direita ( x -2^+), (x + 2) se aproxima de 0 de valores positivos, e x^2 é sempre positivo. Portanto, o denominador está se aproximando de 0 positivo. O numerador, x - 1, quando x -2, se aproxima de -3.
Então:
-3+0 = -infty
Observação: A afirmação diz que o limite é +infty, mas na verdade é -infty.

Passo 3

Como o limite resulta em -infty e não em +infty, a afirmação está incorreta. Porém, ainda assim, a reta x = -2 é uma assíntota vertical porque a função tende ao infinito (seja positivo ou negativo) nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim x -2 2 - |x|2 + x
Primeiro, avaliamos |x| quando x -2:
|x| = |-2| = 2
Substituindo:
2 - 22 + (-2) = 00
Isso nos dá uma forma indeterminada, então precisamos analisar o comportamento da função próximo a x = -2.

Passo 5

Vamos abordar o limite pela definição de limite.
Para x próximo de -2, mas diferente de -2:
2 + x 0
E:
2 - |x| 0
Vamos analisar os sinais:
  • Quando x se aproxima de -2 por valores maiores (pela direita), 2 + x é positivo.
  • 2 - |x| = 0 exatamente em x = -2.
Portanto, a razão está se aproximando de 0 dividido por algo que tende a zero positiva, o que sugere que o limite pode ser infinito ou finito dependendo da taxa de aproximação.
Usando uma expansão de Taylor ou analisando as aproximações, percebemos que a função se aproxima de um valor finito.

Passo 6

Para verificar se existe uma raiz real, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos uma raiz entre esses pontos.
Vamos avaliar a função f(x) = x^5 - x^2 + 2x + 3 em alguns pontos:
  • f(-2) = (-32) - 4 + (-4) + 3 = -37
  • f(-1) = (-1) -1 + (-2) + 3 = -1
  • f(0) = 0 - 0 + 0 + 3 = 3

Passo 7

Observamos que:
  • De f(-1) = -1
  • Para f(0) = 3
Como f(x) muda de negativo para positivo entre x = -1 e x = 0, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.

Passo 8

Vamos verificar a continuidade em x = 3. Uma função é contínua em um ponto se:
  1. O limite existe nesse ponto.
  2. A função está definida nesse ponto.
  3. O valor do limite é igual ao valor da função no ponto.
Primeiro, calculamos o limite de g(x) quando x 3:
limx 3 2x^2 -5x -3x -3
Fatorando o numerador:
2x^2 -5x -3 = (2x +1)(x -3)
Então:
(2x +1)(x -3)x -3 = 2x +1 para x neq 3
Portanto:
limx 3 g(x) = limx 3 (2x +1) = 7

Passo 9

Agora, verificamos o valor da função em x = 3: g(3) = 6.
Como o limite é 7 e g(3) = 6, que são diferentes, a função tem uma descontinuidade em x = 3.

Passo 10

Para calcular limites no infinito de funções racionais, comparamos os termos de maior grau no numerador e denominador.
No numerador, o termo de maior grau é -13x^4.
No denominador, o termo de maior grau é 6x^4.
Então, o limite é aproximadamente:
limx +infty -13x^46x^4 = -136

Passo 11

Portanto, o limite é -136.

Resposta

(e) Verdadeiro. O limite é -136 porque os termos de maior grau no numerador e denominador determinam o comportamento da função no infinito.

Resumo das Respostas

a) Falso.
b) Verdadeiro.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
e) Verdadeiro.

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