Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( )
, neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota vertical.
(b) ( )
.
© ( ) Não existe nenhum número real
tal que seja uma raiz da equação
.
(d) ( ) A função
é descontínua no ponto
.
(e) ( ) O limite
.
(a) ( )
(b) ( )
© ( ) Não existe nenhum número real
(d) ( ) A função
(e) ( ) O limite
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos cinco afirmações para verificar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos precisar entender conceitos de limites, assíntotas, continuidade de funções e comportamento de polinômios. Vamos resolver cada item passo a passo!
Parte (a)
Afirmação:
, neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite tendendo a
. Isso indica que a função está crescendo sem limites quando
se aproxima de
pela direita. Além disso, se uma função tende a infinito em um ponto, isso geralmente significa que há uma assíntota vertical nesse ponto.
Vamos calcular o limite:
Quando
se aproxima de
pela direita (
),
se aproxima de
de valores positivos, e
é sempre positivo. Portanto, o denominador está se aproximando de
positivo. O numerador,
, quando
, se aproxima de
.
Então:
Observação: A afirmação diz que o limite é
, mas na verdade é
.
Passo 3
Como o limite resulta em
e não em
, a afirmação está incorreta. Porém, ainda assim, a reta
é uma assíntota vertical porque a função tende ao infinito (seja positivo ou negativo) nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Primeiro, avaliamos
quando
:
Substituindo:
Isso nos dá uma forma indeterminada, então precisamos analisar o comportamento da função próximo a
.
Passo 5
Vamos abordar o limite pela definição de limite.
Para
próximo de
, mas diferente de
:
E:
Vamos analisar os sinais:
- Quando
se aproxima de por valores maiores (pela direita), é positivo. -
exatamente em .
Portanto, a razão está se aproximando de
dividido por algo que tende a zero positiva, o que sugere que o limite pode ser infinito ou finito dependendo da taxa de aproximação.
Usando uma expansão de Taylor ou analisando as aproximações, percebemos que a função se aproxima de um valor finito.
Passo 6
Para verificar se existe uma raiz real, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos uma raiz entre esses pontos.
Vamos avaliar a função
em alguns pontos:
Passo 7
Observamos que:
- De
- Para
Como
muda de negativo para positivo entre
e
, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.
Passo 8
Vamos verificar a continuidade em
. Uma função é contínua em um ponto se:
- O limite existe nesse ponto.
- A função está definida nesse ponto.
- O valor do limite é igual ao valor da função no ponto.
Primeiro, calculamos o limite de
quando
:
Fatorando o numerador:
Então:
Portanto:
Passo 9
Agora, verificamos o valor da função em
:
.
Como o limite é
e
, que são diferentes, a função tem uma descontinuidade em
.
Passo 10
Para calcular limites no infinito de funções racionais, comparamos os termos de maior grau no numerador e denominador.
No numerador, o termo de maior grau é
.
No denominador, o termo de maior grau é .
No denominador, o termo de maior grau é
Então, o limite é aproximadamente:
Passo 11
Portanto, o limite é
.
Resposta
(e) Verdadeiro. O limite é
porque os termos de maior grau no numerador e denominador determinam o comportamento da função no infinito.
Resumo das Respostas
a) Falso.
b) Verdadeiro.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
e) Verdadeiro.
b) Verdadeiro.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
e) Verdadeiro.