Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota vertical.
(b) ( ) .
© ( ) Não existe nenhum número real tal que seja uma raiz da equação .
(d) ( ) A função é descontínua no ponto .
(e) ( ) O limite .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos cinco afirmações para verificar se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Vamos precisar entender conceitos de limites, assíntotas, continuidade de funções e comportamento de polinômios. Vamos resolver cada item passo a passo!

Parte (a)

Afirmação:
, neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite tendendo a . Isso indica que a função está crescendo sem limites quando se aproxima de pela direita. Além disso, se uma função tende a infinito em um ponto, isso geralmente significa que há uma assíntota vertical nesse ponto.
Vamos calcular o limite:
Quando se aproxima de pela direita ( ), se aproxima de de valores positivos, e é sempre positivo. Portanto, o denominador está se aproximando de positivo. O numerador, , quando , se aproxima de .
Então:
Observação: A afirmação diz que o limite é , mas na verdade é .

Passo 3

Como o limite resulta em e não em , a afirmação está incorreta. Porém, ainda assim, a reta é uma assíntota vertical porque a função tende ao infinito (seja positivo ou negativo) nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Primeiro, avaliamos quando :
Substituindo:
Isso nos dá uma forma indeterminada, então precisamos analisar o comportamento da função próximo a .

Passo 5

Vamos abordar o limite pela definição de limite.
Para próximo de , mas diferente de :
E:
Vamos analisar os sinais:
  • Quando se aproxima de por valores maiores (pela direita), é positivo.
  • exatamente em .
Portanto, a razão está se aproximando de dividido por algo que tende a zero positiva, o que sugere que o limite pode ser infinito ou finito dependendo da taxa de aproximação.
Usando uma expansão de Taylor ou analisando as aproximações, percebemos que a função se aproxima de um valor finito.

Passo 6

Para verificar se existe uma raiz real, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua assume valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos uma raiz entre esses pontos.
Vamos avaliar a função em alguns pontos:

Passo 7

Observamos que:
  • De
  • Para
Como muda de negativo para positivo entre e , pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo.

Passo 8

Vamos verificar a continuidade em . Uma função é contínua em um ponto se:
  1. O limite existe nesse ponto.
  2. A função está definida nesse ponto.
  3. O valor do limite é igual ao valor da função no ponto.
Primeiro, calculamos o limite de quando :
Fatorando o numerador:
Então:
Portanto:

Passo 9

Agora, verificamos o valor da função em : .
Como o limite é e , que são diferentes, a função tem uma descontinuidade em .

Passo 10

Para calcular limites no infinito de funções racionais, comparamos os termos de maior grau no numerador e denominador.
No numerador, o termo de maior grau é .
No denominador, o termo de maior grau é .
Então, o limite é aproximadamente:

Passo 11

Portanto, o limite é .

Resposta

(e) Verdadeiro. O limite é porque os termos de maior grau no numerador e denominador determinam o comportamento da função no infinito.

Resumo das Respostas

a) Falso.
b) Verdadeiro.
c) Falso.
d) Verdadeiro.
e) Verdadeiro.

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