Para cada par de proposições p e q abaixo, em que a variável x denota um número natural, diga se p é condição necessária ou suficiente para q :
c) p: x > 0 e x < 2
q: x < 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar duas proposições envolvendo um número natural . As proposições são:
  • e
Nosso objetivo é dizer se é uma condição necessária ou suficiente para . Para isso, vamos precisar entender o que são condições necessárias e suficientes na lógica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa condição necessária e condição suficiente:
  • Condição necessária: Se é necessária para , isso quer dizer que para que seja verdadeira, precisa ser verdadeira. Em outras palavras, só pode acontecer se acontecer.
  • Condição suficiente: Se é suficiente para , isso quer dizer que se for verdadeira, então sempre será verdadeira. Ou seja, garante .

Passo 3

Vamos verificar se implica . Ou seja, se sempre que for verdadeira, também for.
Dado e , isso significa que pode ser 1 (já que estamos falando de números naturais).
Agora, também será verdadeira para .
Então, sempre que é verdadeira (no caso, ), também é verdadeira. Isso mostra que é uma condição suficiente para .

Passo 4

Agora, vamos verificar se implica . Ou seja, se sempre que for verdadeira, também for.
é verdadeiro para e (já que é natural).
No entanto, para , e não é verdadeira porque não é maior que 0.
Então, pode ser verdadeira sem que seja verdadeira. Isso significa que não é uma condição necessária para .

Resposta

é uma condição suficiente para .

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