Dados
, assinale as proposições verdadeiras:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois números reais
e
, onde
. A proposição que vamos analisar é:
Isso significa que para todo
, se
é maior ou menor que
, então
deve ser maior que
. Vamos precisar entender como as inequações funcionam dependendo do sinal de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a desigualdade
pode ser resolvida isolando
:
Isso quer dizer que o sentido da desigualdade muda se
for negativo.
Passo 3
Vamos analisar o caso quando
:
- Se
, então é verdadeiro. - Se
, então é falso.
Portanto, para
, a proposição não é verdadeira em todos os casos, já que para
, a implicação falha.
Passo 4
Agora, vamos ver quando
:
- Se
, como é negativo, , então a implicação é falsa. - Se
, então é verdadeiro.
Novamente, vemos que nem sempre a implicação é verdadeira, pois para
, a afirmação
não se sustenta.
Passo 5
Resumindo ambos os casos:
- Para
: A proposição é verdadeira somente quando , mas falsa quando . - Para
: A proposição é verdadeira somente quando , mas falsa quando .
Em ambos os cenários, a proposição não se mantém verdadeira para todos os
que satisfazem
ou
.
Resposta
A proposição d) é falsa.
Exercícios relacionados
Para cada proposição abaixo (na variável real
), complete a lacuna com o conectivo
ou
de modo a torná-la verdadeira:
c) é solução de
se, e somente se,
c)
Dê exemplos ou contra-exemplos, se existirem, para as seguintes afirmações (a variável
denota um número real,
denota um número natural):
c) ou
e
c)
Nas seguintes proposições abertas o domínio de discurso é o conjunto dos números reais. Para essas proposições esboce na reta real o seu conjunto verdade:
c) ou
e
c)
Para cada par de proposições
e
abaixo, em que a variável
denota um número natural, diga se
é condição necessária ou suficiente para
:
c) e
c)