Para cada par de retas e abaixo, encontre , e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar onde as retas e se cruzam, ou seja, o ponto de interseção . Se elas não se cruzarem, a gente tem que dizer se são paralelas ou reversas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre representação de retas no espaço e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a reta na forma paramétrica. A equação dada é:
Então, podemos escrever:
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.
Passo 3
Agora, vamos trabalhar com a reta . Ela está definida por um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas que pertencem à reta .
Passo 4
Para resolver o sistema, podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vou usar a combinação:
Primeiro, multiplico a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Agora, subtraio a primeira equação:
Simplificando:
Então, temos .
Passo 5
Agora, substituímos na segunda equação original:
Então, .
Passo 6
Agora, temos e . Podemos expressar a reta em forma paramétrica usando :
Aqui, é o parâmetro para a reta .
Passo 7
Para encontrar a interseção , igualamos as coordenadas das duas retas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Passo 8
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então, .
Passo 9
Agora, verificamos na equação (3):
A igualdade é verdadeira, o que significa que as retas se cruzam no ponto correspondente a na reta .