Para cada par de retas r e l abaixo, encontre r cap l, e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas:
r: x-24=y+3-1=z+23 e l:c3 x+2 y+z=-2 x-y+2 z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar onde as retas e se cruzam, ou seja, o ponto de interseção . Se elas não se cruzarem, a gente tem que dizer se são paralelas ou reversas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre representação de retas no espaço e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a reta x-24 = y+3-1 = z+23 = t na forma paramétrica. A equação dada é:
x = 4t + 2
Então, podemos escrever:
y = -t - 3
z = 3t - 2
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, vamos trabalhar com a reta 3x + 2y + z = -2 . Ela está definida por um sistema de equações:
x - y + 2z = 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas que pertencem à reta .

Passo 4

Para resolver o sistema, podemos usar o método da substituição ou da combinação. Vou usar a combinação:
Primeiro, multiplico a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
3(x - y + 2z) = 3(1) Rightarrow 3x - 3y + 6z = 3
Agora, subtraio a primeira equação:
(3x - 3y + 6z) - (3x + 2y + z) = 3 - (-2)
Simplificando:
-5y + 5z = 5 Rightarrow -y + z = 1
Então, temos .

Passo 5

Agora, substituímos x - y + 2(y + 1) = 1 Rightarrow x - y + 2y + 2 = 1 Rightarrow x + y = -1 na segunda equação original:
Então, .

Passo 6

Agora, temos x = -1 - s e y = s . Podemos expressar a reta z = s + 1 em forma paramétrica usando :
Aqui, é o parâmetro para a reta .

Passo 7

Para encontrar a interseção 4t + 2 = -1 - s (1) , igualamos as coordenadas das duas retas:
-t - 3 = s (2)
3t - 2 = s + 1 (3)
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 8

Da equação (2):
s = -t - 3
Substituindo 4t + 2 = -1 - (-t - 3) Rightarrow 4t + 2 = -1 + t + 3 Rightarrow 3t = 0 Rightarrow t = 0 na equação (1):
Então, .

Passo 9

Agora, verificamos na equação (3):
3(0) - 2 = -3 + 1 Rightarrow -2 = -2
A igualdade é verdadeira, o que significa que as retas se cruzam no ponto correspondente a na reta .

Resposta

As retas e se intersectam no ponto .

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