Considere as matrizes A e b abaixo:
Resolva o sistema de equações lineares , utilizando o método de Gauss-Jordan.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz e o vetor . O objetivo é encontrar um vetor que satisfaça a equação . Para resolver isso, vamos usar o método de Gauss-Jordan, que serve pra simplificar matrizes e encontrar soluções de sistemas lineares de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada , que combina a matriz dos coeficientes com o vetor . Assim, ficamos com:

Passo 3

O próximo passo no método de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma reduzida por linhas. Isso envolve usar operações elementares de linha para levar a matriz a uma forma onde conseguimos identificar facilmente as soluções das variáveis.

Passo 4

Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento na primeira linha e primeira coluna. Já está bom. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Subtraímos 1 vez a primeira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso:
Nova segunda linha:
Nova quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna ( ). Para facilitar, podemos multiplicar a segunda linha por para que o pivô seja :
Nova segunda linha:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna usando o pivô da segunda linha:
  • Subtraímos a segunda linha da primeira linha.
  • Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
  • Adicionamos a segunda linha à quarta linha.
Vamos fazer isso:
Nova primeira linha:
Nova terceira linha:
Nova quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 7

Vamos para o terceiro pivô, que está na terceira linha e quarta coluna ( ). Para simplificar, podemos dividir a terceira linha por para que o pivô seja :
Nova terceira linha:
A matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos zerar os outros elementos na quarta coluna usando o pivô da terceira linha:
  • Subtraímos vezes a terceira linha da primeira linha.
  • Subtraímos vezes a terceira linha da segunda linha.
  • Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso:
Nova primeira linha:
Nova segunda linha:
Nova quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 9

Vamos para o quarto pivô, mas na matriz simplificada, a quarta linha é toda zeros, o que indica que temos uma equação redundante. Agora, olhamos para as linhas restantes:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Percebemos que temos 5 variáveis ( ) e apenas 3 equações independentes. Isso significa que temos duas variáveis livres, que podemos escolher para expressar as demais.

Passo 10

Vamos escolher e como variáveis livres, onde e podem ser quaisquer números reais. Agora, vamos expressar e em termos de e .
Da terceira linha:
Da segunda linha:
Da primeira linha:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são quaisquer números reais.

Exercícios relacionados

Obtenha as soluções do sistema abaixo, por eliminação de GaussJordan :
Considere os planos e
.
Determine , em cada caso, para que os planos e sejam: paralelos, concorrentes e concorrentes ortogonais.
Mostre que o conjunto das matrizes triangulares inferiores e o conjunto das matrizes triangulares superiores são subespaços vetoriais de , que e que não se tem .
Para cada par de retas e abaixo, encontre , e nos casos em que a interseção é vazia, decida se elas são paralelas ou reversas:
e