Resolva o sistema de equações lineares A x=b, utilizando o método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz e o vetor . O objetivo é encontrar um vetor que satisfaça a equação . Para resolver isso, vamos usar o método de Gauss-Jordan, que serve pra simplificar matrizes e encontrar soluções de sistemas lineares de forma mais fácil.
O próximo passo no método de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma reduzida por linhas. Isso envolve usar operações elementares de linha para levar a matriz a uma forma onde conseguimos identificar facilmente as soluções das variáveis.
Passo 4
Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento 2 - 2 times 1 = 0 0 - 2 times 1 = -2 6 - 2 times 5 = -4 1 - 2 times 1 = -1 7 - 2 times 6 = -5 15 - 2 times 14 = -13 na primeira linha e primeira coluna. Já está bom. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraímos 1 vez a primeira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso:
Nova segunda linha:
1 - 1 times 1 = 0 0 - 1 times 1 = -1 3 - 1 times 5 = -2 2 - 1 times 1 = 1 8 - 1 times 6 = 2 12 - 1 times 14 = -2
Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna ( 0 times (-12) = 0 -2 times (-12) = 1 -4 times (-12) = 2 -1 times (-12) = 0.5 -5 times (-12) = 2.5 -13 times (-12) = 6.5 ). Para facilitar, podemos multiplicar a segunda linha por [ccccc|c 1 & 1 & 5 & 1 & 6 & 14 0 & 1 & 2 & 0.5 & 2.5 & 6.5 0 & 1 & 2 & 3 & 10 & 14 0 & -1 & -2 & 1 & 2 & -2 ] para que o pivô seja :
Nova segunda linha:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna usando o pivô 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 5 - 2 = 3 1 - 0.5 = 0.5 6 - 2.5 = 3.5 14 - 6.5 = 7.5 da segunda linha:
Vamos para o terceiro pivô, que está na terceira linha e quarta coluna ( 0 div 2.5 = 0 0 div 2.5 = 0 0 div 2.5 = 0 2.5 div 2.5 = 1 7.5 div 2.5 = 3 7.5 div 2.5 = 3 ). Para simplificar, podemos dividir a terceira linha por [ccccc|c 1 & 0 & 3 & 0.5 & 3.5 & 7.5 0 & 1 & 2 & 0.5 & 2.5 & 6.5 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & 3 0 & 0 & 0 & 1.5 & 4.5 & 4.5 ] para que o pivô seja :
Nova terceira linha:
A matriz fica:
Passo 8
Agora, vamos zerar os outros elementos na quarta coluna usando o pivô 1 - 0 times = 1 0 - 0 times = 0 3 - 0 times = 3 0.5 - 0.5 times 1 = 0 3.5 - 0.5 times 3 = 2 7.5 - 0.5 times 3 = 6 da terceira linha:
Subtraímos 0 - 0 times = 0 1 - 0 times = 1 2 - 0 times = 2 0.5 - 0.5 times 1 = 0 2.5 - 0.5 times 3 = 1 6.5 - 0.5 times 3 = 5 vezes a terceira linha da primeira linha.
Subtraímos 0 - 0 times = 0 0 - 0 times = 0 0 - 0 times = 0 1.5 - 1.5 times 1 = 0 4.5 - 1.5 times 3 = 0 4.5 - 1.5 times 3 = 0 vezes a terceira linha da segunda linha.
Vamos para o quarto pivô, mas na matriz simplificada, a quarta linha é toda zeros, o que indica que temos uma equação redundante. Agora, olhamos para as linhas restantes:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Percebemos que temos 5 variáveis () e apenas 3 equações independentes. Isso significa que temos duas variáveis livres, que podemos escolher para expressar as demais.
Passo 10
Vamos escolher x4 + 3x5 = 3 x4 = 3 - 3s e x2 + 2x3 + x5 = 5 x2 = 5 - 2t - s como variáveis livres, onde x1 + 3x3 + 2x5 = 6 x1 = 6 - 3t - 2s e podem ser quaisquer números reais. Agora, vamos expressar e em termos de e .
Da terceira linha:
Da segunda linha:
Da primeira linha:
Resposta
A solução geral do sistema é:
x1 = 6 - 3t - 2s x2 = 5 - 2t - s x3 = t x4 = 3 - 3s x5 = s