Resolva o sistema de equações lineares , utilizando o método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos um sistema de equações lineares representado pela matriz e o vetor . O objetivo é encontrar um vetor que satisfaça a equação . Para resolver isso, vamos usar o método de Gauss-Jordan, que serve pra simplificar matrizes e encontrar soluções de sistemas lineares de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada , que combina a matriz dos coeficientes com o vetor . Assim, ficamos com:
Passo 3
O próximo passo no método de Gauss-Jordan é transformar essa matriz em uma forma mais simples, chamada de forma reduzida por linhas. Isso envolve usar operações elementares de linha para levar a matriz a uma forma onde conseguimos identificar facilmente as soluções das variáveis.
Passo 4
Começamos pelo primeiro pivô, que é o elemento na primeira linha e primeira coluna. Já está bom. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na primeira coluna. Para isso:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
Subtraímos 1 vez a primeira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso:
Nova segunda linha:
Nova quarta linha:
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna (). Para facilitar, podemos multiplicar a segunda linha por para que o pivô seja :
Nova segunda linha:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos zerar os outros elementos na segunda coluna usando o pivô da segunda linha:
Subtraímos a segunda linha da primeira linha.
Subtraímos a segunda linha da terceira linha.
Adicionamos a segunda linha à quarta linha.
Vamos fazer isso:
Nova primeira linha:
Nova terceira linha:
Nova quarta linha:
A matriz fica assim:
Passo 7
Vamos para o terceiro pivô, que está na terceira linha e quarta coluna (). Para simplificar, podemos dividir a terceira linha por para que o pivô seja :
Nova terceira linha:
A matriz fica:
Passo 8
Agora, vamos zerar os outros elementos na quarta coluna usando o pivô da terceira linha:
Subtraímos vezes a terceira linha da primeira linha.
Subtraímos vezes a terceira linha da segunda linha.
Subtraímos vezes a terceira linha da quarta linha.
Vamos fazer isso:
Nova primeira linha:
Nova segunda linha:
Nova quarta linha:
A matriz fica assim:
Passo 9
Vamos para o quarto pivô, mas na matriz simplificada, a quarta linha é toda zeros, o que indica que temos uma equação redundante. Agora, olhamos para as linhas restantes:
Primeira linha:
Segunda linha:
Terceira linha:
Percebemos que temos 5 variáveis () e apenas 3 equações independentes. Isso significa que temos duas variáveis livres, que podemos escolher para expressar as demais.
Passo 10
Vamos escolher e como variáveis livres, onde e podem ser quaisquer números reais. Agora, vamos expressar e em termos de e .