Mostre que o conjunto
das matrizes triangulares inferiores e o conjunto
das matrizes triangulares superiores são subespaços vetoriais de
, que
e que não se tem
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. A gente tem dois conjuntos de matrizes:
, que são as matrizes triangulares inferiores, e
, que são as matrizes triangulares superiores. Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais do espaço de todas as matrizes
com números reais,
. Além disso, vamos verificar se todo matriz em
pode ser escrita como a soma de uma matriz em
e outra em
, e por fim, confirmar que essa soma não é direta. Para isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, matrizes triangulares e soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos verificar três coisas:
- Contém o vetor zero: A matriz zero é triangular inferior, então está em
. - Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes triangulares inferiores e somarmos, o resultado também será triangular inferior.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz triangular inferior por um n��mero real, a matriz resultante também será triangular inferior.
Como todas essas condições são satisfeitas,é um subespaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos fazer a mesma coisa para
, o conjunto das matrizes triangulares superiores:
- Contém o vetor zero: A matriz zero é triangular superior, então está em
. - Fechamento sob adição: A soma de duas matrizes triangulares superiores é novamente triangular superior.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz triangular superior por um escalar real mantém essa propriedade.
Portanto,também é um subespaço vetorial.
Passo 4
Com os subespaços
e
estabelecidos, vamos mostrar que qualquer matriz em
pode ser escrita como a soma de uma matriz de
e outra de
. Seja
uma matriz qualquer em
. Podemos decompor
em duas partes:
-
, a parte triangular inferior de -
, a parte triangular superior de
Então,. Como está em e está em , mostramos que .
Passo 5
Para concluir, precisamos verificar se essa soma é direta, ou seja, se a interseção de
e
contém apenas a matriz zero. Suponha que exista uma matriz que é tanto triangular inferior quanto triangular superior. Isso só é possível se todos os elementos fora da diagonal forem zero, fazendo com que a matriz seja diagonal. Porém, para que ela esteja na interseção
, além de ser triangular inferior e superior, ela também precisa ser triangular de ambas as formas, o que só acontece se ela for a matriz zero. Mas, na verdade, qualquer matriz diagonal está na interseção, o que inclui mais do que apenas a matriz zero. Portanto,
não é apenas o vetor zero, e assim,
não é a soma direta de
e
.
Resposta
Concluímos que:
-
e são subespaços vetoriais de . -
. -
.