Mostre que o conjunto F1 das matrizes triangulares inferiores e o conjunto F2 das matrizes triangulares superiores são subespaços vetoriais de Mn times n(R), que Mn times n(R)=F1+F2 e que não se tem Mn times n(R)=F1 oplus F2.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que o exercício está pedindo. A gente tem dois conjuntos de matrizes: , que são as matrizes triangulares inferiores, e , que são as matrizes triangulares superiores. Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais do espaço de todas as matrizes com números reais, . Além disso, vamos verificar se todo matriz em pode ser escrita como a soma de uma matriz em e outra em , e por fim, confirmar que essa soma não é direta. Para isso, vamos precisar entender o que são subespaços vetoriais, matrizes triangulares e soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é um subespaço vetorial. Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero é triangular inferior, então está em .
  2. Fechamento sob adição: Se pegarmos duas matrizes triangulares inferiores e somarmos, o resultado também será triangular inferior.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz triangular inferior por um n��mero real, a matriz resultante também será triangular inferior.
    Como todas essas condições são satisfeitas, é um subespaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos fazer a mesma coisa para , o conjunto das matrizes triangulares superiores:
  1. Contém o vetor zero: A matriz zero é triangular superior, então está em .
  2. Fechamento sob adição: A soma de duas matrizes triangulares superiores é novamente triangular superior.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar uma matriz triangular superior por um escalar real mantém essa propriedade.
    Portanto, também é um subespaço vetorial.

Passo 4

Com os subespaços e estabelecidos, vamos mostrar que qualquer matriz em pode ser escrita como a soma de uma matriz de e outra de . Seja uma matriz qualquer em . Podemos decompor em duas partes:
  • , a parte triangular inferior de
  • , a parte triangular superior de
    Então, . Como está em e está em , mostramos que .

Passo 5

Para concluir, precisamos verificar se essa soma é direta, ou seja, se a interseção de e contém apenas a matriz zero. Suponha que exista uma matriz que é tanto triangular inferior quanto triangular superior. Isso só é possível se todos os elementos fora da diagonal forem zero, fazendo com que a matriz seja diagonal. Porém, para que ela esteja na interseção , além de ser triangular inferior e superior, ela também precisa ser triangular de ambas as formas, o que só acontece se ela for a matriz zero. Mas, na verdade, qualquer matriz diagonal está na interseção, o que inclui mais do que apenas a matriz zero. Portanto, não é apenas o vetor zero, e assim, não é a soma direta de e .

Resposta

Concluímos que:
  • e são subespaços vetoriais de .
  • .
  • .

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