Seja . Mostre que a função
em que é o -ésimo elemento do vetor , não é uma norma para real.

Passo 1

Então, a gente tem um vetor em e uma função definida por
O exercício pede para mostrar que essa função não é uma norma quando , sendo um número real. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma norma. Uma norma em é uma função que atribui um número real não negativo para cada vetor, e precisa satisfazer três propriedades:
  1. Positividade: e se e somente se é o vetor zero.
  2. Homogeneidade: Para qualquer escalar , .
  3. Desigualdade Triangular: para quaisquer vetores e .
Nosso objetivo é mostrar que, quando , a função não satisfaz pelo menos uma dessas propriedades, logo, não é uma norma.

Passo 3

Vamos verificar a desigualdade triangular, que é a mais crítica para essa função. A desigualdade triangular basicamente diz que o “tamanho” da soma de dois vetores é menor ou igual à soma dos “tamanhos” individuais.
Para , queremos mostrar que existe pelo menos um caso onde
ou seja, onde a função não respeita a desigualdade triangular.

Passo 4

Vamos escolher vetores simples para facilitar a demonstração. Por exemplo, considere e em .
Calculando e :
Agora, somando os vetores :

Passo 5

Vamos comparar com :
Queremos ver se quando .
Sabemos que para , . Então,
Portanto,

Resposta

Como encontramos que para , a função não satisfaz a desigualdade triangular, concluímos que não é uma norma quando é menor que 1.

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