Seja
. Mostre que a função
em que
é o
-ésimo elemento do vetor
, não é uma norma para
real.
Passo 1
Então, a gente tem um vetor
em
e uma função definida por
O exercício pede para mostrar que essa função
não é uma norma quando
, sendo
um número real. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma norma. Uma norma em
é uma função que atribui um número real não negativo para cada vetor, e precisa satisfazer três propriedades:
- Positividade:
e se e somente se é o vetor zero. - Homogeneidade: Para qualquer escalar
, . - Desigualdade Triangular:
para quaisquer vetores e .
Nosso objetivo é mostrar que, quando
, a função
não satisfaz pelo menos uma dessas propriedades, logo, não é uma norma.
Passo 3
Vamos verificar a desigualdade triangular, que é a mais crítica para essa função. A desigualdade triangular basicamente diz que o “tamanho” da soma de dois vetores é menor ou igual à soma dos “tamanhos” individuais.
Para
, queremos mostrar que existe pelo menos um caso onde
ou seja, onde a função
não respeita a desigualdade triangular.
Passo 4
Vamos escolher vetores simples para facilitar a demonstração. Por exemplo, considere
e
em
.
Calculando
e
:
Agora, somando os vetores
:
Passo 5
Vamos comparar
com
:
Queremos ver se
quando
.
Sabemos que para
,
. Então,
Portanto,
Resposta
Como encontramos que para
, a função
não satisfaz a desigualdade triangular, concluímos que
não é uma norma quando
é menor que 1.
Exercícios relacionados
Para cada par de vetores
em
, ponha
. Prove que isto define um produto interno em
.
Seja
o espaço vetorial gerado pelos vetores
. Encontre duas bases diferentes para
, digamos,
e
, e forneça as matrizes
e
de mudança de base
para
para
, respectivamente.
a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (Equação de Cauchy).