Seja u in R^n. Mostre que a função f(u): R^n R
f(u)=(sumi=1^n|ui|^p)^1 / p
em que ui é o i-ésimo elemento do vetor u, não é uma norma para p<1, p real.

Passo 1

Então, a gente tem um vetor f(u) = ( sumi=1^n |ui|^p )^1/p em e uma função definida por
O exercício pede para mostrar que essa função não é uma norma quando , sendo um número real. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma norma. Uma norma em é uma função que atribui um número real não negativo para cada vetor, e precisa satisfazer três propriedades:
  1. Positividade: e se e somente se é o vetor zero.
  2. Homogeneidade: Para qualquer escalar , .
  3. Desigualdade Triangular: para quaisquer vetores e .
Nosso objetivo é mostrar que, quando , a função não satisfaz pelo menos uma dessas propriedades, logo, não é uma norma.

Passo 3

Vamos verificar a desigualdade triangular, que é a mais crítica para essa função. A desigualdade triangular basicamente diz que o “tamanho” da soma de dois vetores é menor ou igual à soma dos “tamanhos” individuais.
Para f(u + v) > f(u) + f(v) , queremos mostrar que existe pelo menos um caso onde
ou seja, onde a função não respeita a desigualdade triangular.

Passo 4

Vamos escolher vetores simples para facilitar a demonstração. Por exemplo, considere f(u) = ( |1|^p + |0|^p )^1/p = 1 e f(v) = ( |1|^p + |0|^p )^1/p = 1 em f(u + v) = ( |2|^p + |0|^p )^1/p = 2^1/p .
Calculando e :
Agora, somando os vetores :

Passo 5

Vamos comparar 2^1/p vs 1 + 1 = 2 com 2^1/p > 2^1 = 2 :
f(u + v) > f(u) + f(v)
Queremos ver se quando .
Sabemos que para , . Então,
Portanto,

Resposta

Como encontramos que para , a função não satisfaz a desigualdade triangular, concluímos que não é uma norma quando é menor que 1.

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