a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (Equação de Cauchy).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação que envolve a derivada do momento linear de um sistema e pediu para encontrar a equação de conservação geral da Quantidade de Movimento (QM) na forma diferencial, também conhecida como Equação de Cauchy. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos e cálculo vetorial, como derivadas parciais e o teorema de divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação inicial representa. Ela está expressando que a taxa de variação temporal do momento linear do sistema é igual à soma da taxa de variação do momento dentro do volume
e do fluxo de momento através da superfície
. Matemáticamente:
Aqui,
é a densidade,
é a velocidade, e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Para transformar isso em uma equação diferencial, vamos aplicar o teorema de Reynolds, que nos permite trocar derivadas temporais com integrais sobre um volume em movimento. Assim, a derivada total no lado esquerdo pode ser expressa como a soma das derivadas locais e o fluxo através da superfície.
Matematicamente, aplicamos:
Passo 4
Agora, juntando tudo, podemos reescrever a equação inicial substituindo a derivada total:
Perceba que os termos de fluxo pela superfície
se cancelam, simplificando para:
Passo 5
Para obter a equação na forma diferencial, precisamos que essa igualdade seja válida para qualquer volume
. Isso implica que os integrandos devem ser iguais. Portanto, descartando as integrais, temos a Equação de Conservação da Quantidade de Movimento na forma diferencial:
Aqui,
representa a divergência e
é o produto tensorial entre os vetores.
Resposta
A equação de conservação geral da Quantidade de Movimento na forma diferencial (Equação de Cauchy) é: