a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (Equação de Cauchy).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação que envolve a derivada do momento linear de um sistema e pediu para encontrar a equação de conservação geral da Quantidade de Movimento (QM) na forma diferencial, também conhecida como Equação de Cauchy. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos e cálculo vetorial, como derivadas parciais e o teorema de divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação inicial representa. Ela está expressando que a taxa de variação temporal do momento linear do sistema é igual à soma da taxa de variação do momento dentro do volume e do fluxo de momento através da superfície . Matemáticamente:
Aqui, é a densidade, é a velocidade, e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para transformar isso em uma equação diferencial, vamos aplicar o teorema de Reynolds, que nos permite trocar derivadas temporais com integrais sobre um volume em movimento. Assim, a derivada total no lado esquerdo pode ser expressa como a soma das derivadas locais e o fluxo através da superfície.
Matematicamente, aplicamos:

Passo 4

Agora, juntando tudo, podemos reescrever a equação inicial substituindo a derivada total:
Perceba que os termos de fluxo pela superfície se cancelam, simplificando para:

Passo 5

Para obter a equação na forma diferencial, precisamos que essa igualdade seja válida para qualquer volume . Isso implica que os integrandos devem ser iguais. Portanto, descartando as integrais, temos a Equação de Conservação da Quantidade de Movimento na forma diferencial:
Aqui, representa a divergência e é o produto tensorial entre os vetores.

Resposta

A equação de conservação geral da Quantidade de Movimento na forma diferencial (Equação de Cauchy) é:

Exercícios relacionados

Seja . Mostre que a função
em que é o -ésimo elemento do vetor , não é uma norma para real.
Para cada par de vetores em , ponha . Prove que isto define um produto interno em .
Partindo da equação a conservação da quantidade de movimento (QM) na forma integral:
  1. A partir da equação de conservação da QM para o escoamento incompressível de um fluido newtoniano com viscosidade constante (na forma vetorial) obtida na questão anterior,
a. Obtenha a forma adimensional desta equação como função dos números de Re (Reynolds), Fr (Froude), Eu (Euler) e St (Strouhal), consulte a seção 10.2 do Livro Çengel para verificar os parâmetros de escala para adimensionalização.