d(m V) sist d t=dd t integralV rho V d V+integralA rho V cdot n d A
a. Obtenha a equação de conservação geral da QM na forma diferencial (Equação de Cauchy).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação que envolve a derivada do momento linear de um sistema e pediu para encontrar a equação de conservação geral da Quantidade de Movimento (QM) na forma diferencial, também conhecida como Equação de Cauchy. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos e cálculo vetorial, como derivadas parciais e o teorema de divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação inicial representa. Ela está expressando que a taxa de variação temporal do momento linear do sistema é igual à soma da taxa de variação do momento dentro do volume d(m V) sistdt = ddt integralV rho V , dV + integralA rho V cdot n , dA e do fluxo de momento através da superfície . Matemáticamente:
Aqui, é a densidade, é a velocidade, e é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Para transformar isso em uma equação diferencial, vamos aplicar o teorema de Reynolds, que nos permite trocar derivadas temporais com integrais sobre um volume em movimento. Assim, a derivada total no lado esquerdo pode ser expressa como a soma das derivadas locais e o fluxo através da superfície.
Matematicamente, aplicamos:
ddt integralV rho V , dV = integralV partial (rho V)partial t , dV + integralA rho V (V cdot n) , dA

Passo 4

Agora, juntando tudo, podemos reescrever a equação inicial substituindo a derivada total:
integralV partial (rho V)partial t , dV + integralA rho V (V cdot n) , dA = ddt integralV rho V , dV + integralA rho V cdot n , dA
Perceba que os termos de fluxo pela superfície integralV partial (rho V)partial t , dV = ddt integralV rho V , dV se cancelam, simplificando para:

Passo 5

Para obter a equação na forma diferencial, precisamos que essa igualdade seja válida para qualquer volume partial (rho V)partial t + nabla cdot (rho V otimes V) = 0 . Isso implica que os integrandos devem ser iguais. Portanto, descartando as integrais, temos a Equação de Conservação da Quantidade de Movimento na forma diferencial:
Aqui, representa a divergência e é o produto tensorial entre os vetores.

Resposta

A equação de conservação geral da Quantidade de Movimento na forma diferencial (Equação de Cauchy) é:
partial (rho V)partial t + nabla cdot (rho V otimes V) = 0

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