Para cada uma das parábolas a seguir, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos a equação de uma parábola:
. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa parábola, encontrar o foco e determinar a equação da diretriz. Para isso, vamos precisar conhecer a forma padrão da equação de uma parábola, identificar seus elementos principais e aplicar as fórmulas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação dada na forma padrão da parábola. A equação é
, que podemos reescrever como
. A forma padrão de uma parábola que abre para a direita é
, onde
é a distância do vértice até o foco e também até a diretriz.
Passo 3
Comparando
com
, percebemos que
. Para encontrar
, basta resolver essa equação:
.
Passo 4
Com o valor de
, podemos determinar o foco e a diretriz da parábola. Como a parábola está na forma
, o vértice está na origem
. O foco fica a uma distância
para a direita do vértice, então as coordenadas do foco são
.
Passo 5
A diretriz de uma parábola que abre para a direita é uma reta vertical que está a uma distância
para a esquerda do vértice. Portanto, a equação da diretriz é
, ou seja,
.
Passo 6
Por fim, para construir o gráfico da parábola, sabemos que ela está centrada na origem e abre para a direita. Com
, sabemos que o foco está em
e a diretriz é a reta
. Podemos plotar esses pontos e desenhar a parábola que os conecta de forma simétrica.
Resposta
Para a parábola
:
- Foco:
- Equação da diretriz:
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e
vetores do
. A resultante
é o vetor
Nenhuma das outras alternativas
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Considere a transformação linear
definida por
Verifique se
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
.
Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) definida por
.
(b)