Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada x^2-y^2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a equação da superfície das coordenadas cartesianas para as coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar as relações entre essas duas coordenadas e entender um pouco sobre cada sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos x = r costheta , onde:
  • y = r sintheta é a distância do ponto à origem no plano z = z ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • é a mesma coordenada nas cartesianas.
As relações de conversão são:

Passo 3

Agora, vamos substituir (r costheta)^2 - (r sintheta)^2 = 9 e na equação original pelas expressões em termos de e :

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
r^2 cos^2theta - r^2 sin^2theta = 9
Fatorando r^2 (cos^2theta - sin^2theta) = 9 :

Passo 5

Lembrando da identidade trigonométrica r^2 cos(2theta) = 9 , substituímos na equação:

Passo 6

Agora, isolamos r^2 = 9cos(2theta) :
r = raiz9cos(2theta)
Ou, de forma equivalente:

Resposta

A equação em coordenadas cilíndricas da superfície é .

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