Considere a transformação linear T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x+y+z,-x+2 z, x-z)
Verifique se T é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine T^-1(x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma transformação linear definida por . A pergunta é pra gente verificar se essa transformação é um isomorfismo e, se for, encontrar a inversa dela .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo linear. Basicamente, uma transformação linear é um isomorfismo se ela for inversível, ou seja, se existir uma transformação que “desfaça” o efeito dela. Isso está ligado à ideia de que a matriz associada a essa transformação deve ter determinante diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada à transformação A = 1 & 1 & 1 -1 & 0 & 2 1 & 0 & -1 . Cada coluna dessa matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica , e pela transformação .
Então, calculando:
Então, a matriz de é:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A) = 1 cdot (0 cdot (-1) - 2 cdot 0) - 1 cdot (-1 cdot (-1) - 2 cdot 1) + 1 cdot (-1 cdot 0 - 0 cdot 1) é um isomorfismo, precisamos ver se a matriz det(A) = 1 cdot (0 - 0) - 1 cdot (1 - 2) + 1 cdot (0 - 0) = 0 - 1 cdot (-1) + 0 = 1 é inversível. Isso acontece se e somente se o determinante de for diferente de zero.
Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz é inversível. Portanto, é um isomorfismo.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é um isomorfismo, vamos encontrar a inversa adj(A) = C11 & C21 & C31 C12 & C22 & C32 C13 & C23 & C33 ^T . Para isso, precisamos achar a matriz inversa de 0 & 2 0 & -1 e usar ela para determinar -1 & 2 1 & -1 .
Calculando a inversa de -1 & 0 1 & 0 :
1 & 1 0 & -1
Já que 1 & 1 1 & -1 , temos 1 & 1 1 & 0 .
Calculando a adjunta de 1 & 1 0 & 2 :
Primeiro, encontramos os cofatores de cada elemento de 1 & 1 -1 & 2 :
1 & 1 -1 & 0
Calculando cada cofator:
  • adj(A) = 0 & 1 & 0 1 & -2 & 1 2 & -3 & 1
  • 0 & 1 & 0 1 & -2 & 1 2 & -3 & 1
Então, a adjunta de é:
Portanto,

Passo 5

Agora que temos a matriz inversa a b c = A^-1 cdot x y z = 0 & 1 & 0 1 & -2 & 1 2 & -3 & 1 x y z , podemos usá-la para encontrar a = 0 cdot x + 1 cdot y + 0 cdot z = y . Se b = 1 cdot x + (-2) cdot y + 1 cdot z = x - 2y + z , então c = 2 cdot x + (-3) cdot y + 1 cdot z = 2x - 3y + z .
Matematicamente, isso fica assim:
Multiplicando as matrizes:

Resposta

Sim, T^-1(x, y, z) = (y, x - 2y + z, 2x - 3y + z) é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por:

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