Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b) T: P2 P3 definida por T(x+y t+z t^2)=x t+y t^2+z t^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se uma certa função é uma transformação linear. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que respeitam certas regras. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades que uma transformação linear deve seguir: aditividade e homogeneidade. Vamos verificar se essa função cumpre essas duas regras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos. A função T(x + y t + z t^2) = x t + y t^2 + z t^3 é definida de para , ou seja, ela pega polinômios de grau no máximo 2 e os transforma em polinômios de grau no máximo 3. A regra da transformação é:
Aqui, , e são coeficientes dos termos do polinômio de entrada.

Passo 3

Agora, vamos verificar a aditividade. Isso significa que se pegarmos dois polinômios qualquer na T(p(t) + q(t)) = T(p(t)) + T(q(t)) , digamos e , a transformação da soma deve ser igual à soma das transformações:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.

Passo 4

Primeiro, somamos p(t) + q(t) = (x1 + x2) + (y1 + y2) t + (z1 + z2) t^2 e T(p(t) + q(t)) = (x1 + x2) t + (y1 + y2) t^2 + (z1 + z2) t^3 :
Aplicando nessa soma:

Passo 5

Agora, calculamos T(p(t)) = x1 t + y1 t^2 + z1 t^3 e T(q(t)) = x2 t + y2 t^2 + z2 t^3 separadamente:
T(p(t)) + T(q(t)) = (x1 + x2) t + (y1 + y2) t^2 + (z1 + z2) t^3
Somando essas duas transformações:

Passo 6

Observamos que:
T(p(t) + q(t)) = T(p(t)) + T(q(t))
Isso significa que a transformação satisfaz a propriedade de aditividade.

Passo 7

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que para qualquer polinômio T(c cdot p(t)) = c cdot T(p(t)) na e qualquer escalar , a transformação de deve ser igual a vezes a transformação de :
Vamos calcular cada lado.

Passo 8

Multiplicando o polinômio c cdot p(t) = c x + c y t + c z t^2 por T(c cdot p(t)) = (c x) t + (c y) t^2 + (c z) t^3 = c x t + c y t^2 + c z t^3 :
Aplicando nessa expressão:

Passo 9

Agora, calculamos c cdot T(p(t)) = c cdot (x t + y t^2 + z t^3) = c x t + c y t^2 + c z t^3 vezes :

Passo 10

Observamos que:
T(c cdot p(t)) = c cdot T(p(t))
Portanto, a transformação também satisfaz a propriedade de homogeneidade.

Resposta

Como a função satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.

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