Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
(b)
definida por
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se uma certa função é uma transformação linear. Estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que respeitam certas regras. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades que uma transformação linear deve seguir: aditividade e homogeneidade. Vamos verificar se essa função cumpre essas duas regras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos. A função
é definida de
para
, ou seja, ela pega polinômios de grau no máximo 2 e os transforma em polinômios de grau no máximo 3. A regra da transformação é:
Aqui,
,
e
são coeficientes dos termos do polinômio de entrada.
Passo 3
Agora, vamos verificar a aditividade. Isso significa que se pegarmos dois polinômios qualquer na
, digamos
e
, a transformação da soma deve ser igual à soma das transformações:
Vamos calcular cada lado dessa igualdade.
Passo 4
Primeiro, somamos
e
:
Aplicando
nessa soma:
Passo 5
Agora, calculamos
e
separadamente:
Somando essas duas transformações:
Passo 6
Observamos que:
Isso significa que a transformação
satisfaz a propriedade de aditividade.
Passo 7
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso quer dizer que para qualquer polinômio
na
e qualquer escalar
, a transformação de
deve ser igual a
vezes a transformação de
:
Vamos calcular cada lado.
Passo 8
Multiplicando o polinômio
por
:
Aplicando
nessa expressão:
Passo 9
Agora, calculamos
vezes
:
Passo 10
Observamos que:
Portanto, a transformação
também satisfaz a propriedade de homogeneidade.
Resposta
Como a função
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, ela é uma transformação linear.
Exercícios relacionados
Considere a transformação linear
definida por
Verifique se
é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine
.
Para cada uma das parábolas a seguir, construir o gráfico e encontrar o foco e uma equação da diretriz:
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície cuja equação em coordenadas cartesianas é dada
Determine a transformação linear
que satisfaz: