Seja a transformação linear definida por: . Encontre uma base e a dimensão de:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . A gente quer encontrar uma base e a dimensão da imagem () e do núcleo () dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, a matriz associada é:
Passo 3
Para encontrar a imagem de , precisamos determinar o espaço gerado pelas colunas da matriz . Basicamente, vamos ver quais vetores podemos obter combinando linearmente as colunas de .
Passo 4
Vamos colocar a matriz 1 & -1 & -1 & 1 1 & 0 & -2 & -1 1 & 1 & 3 & -1 1 & -1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & -2 0 & 2 & 4 & -2 1 & -1 & -1 & 1 0 & 1 & -1 & -2 0 & 0 & 6 & 2 em forma escalonada para identificar as colunas que formam a base da imagem:
Passo 5
Observamos que as três primeiras colunas são pivôs, ou seja, elas são independentes e formam a base da imagem. Portanto, a base de 1 1 1 , -1 0 1 , -1 -2 3 é formada pelos vetores das colunas originais correspondentes:
Passo 6
A dimensão da imagem é igual ao número de vetores na base, que neste caso são 3 vetores. Então, .
Passo 7
Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .
Passo 8
Isso significa resolver o sistema homogêneo:
x - y - z + t = 0 x - 2z - t = 0 x + y + 3z - t = 0
Passo 9
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x - y - z + t) - (x - 2z - t) = 0 Rightarrow -y + z + 2t = 0 Rightarrow y = z + 2t
Subtraindo a segunda equação da terceira:
(x + y + 3z - t) - (x - 2z - t) = 0 Rightarrow y + 5z = 0 Rightarrow y = -5z
Comparando as duas expressões para z + 2t = -5z Rightarrow 6z + 2t = 0 Rightarrow 3z + t = 0 Rightarrow t = -3z :
x - 2z - (-3z) = 0 Rightarrow x + z = 0 Rightarrow x = -z
Substituindo na segunda equação:
Passo 10
Assim, todas as soluções do sistema são dadas por:
(x, y, z, t) = (-z, -5z, z, -3z) = z cdot (-1, -5, 1, -3)
Resposta
a) A base de 111 é -101 e a dimensão de -1-23 é 3.