Seja a transformação linear definida por: . Encontre uma base e a dimensão de:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . A gente quer encontrar uma base e a dimensão da imagem () e do núcleo () dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, sistemas lineares e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, a matriz associada é:
Passo 3
Para encontrar a imagem de , precisamos determinar o espaço gerado pelas colunas da matriz . Basicamente, vamos ver quais vetores podemos obter combinando linearmente as colunas de .
Passo 4
Vamos colocar a matriz em forma escalonada para identificar as colunas que formam a base da imagem:
Passo 5
Observamos que as três primeiras colunas são pivôs, ou seja, elas são independentes e formam a base da imagem. Portanto, a base de é formada pelos vetores das colunas originais correspondentes:
Passo 6
A dimensão da imagem é igual ao número de vetores na base, que neste caso são 3 vetores. Então, .
Passo 7
Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .
Passo 8
Isso significa resolver o sistema homogêneo:
Passo 9
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Comparando as duas expressões para :
Substituindo na segunda equação:
Passo 10
Assim, todas as soluções do sistema são dadas por: