Seja a transformação linear definida por:
. Encontre uma base e a dimensão de:
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . A gente quer encontrar uma base e a dimensão da imagem ( ) e do núcleo ( ) dessa transformação. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, sistemas lineares e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, a matriz associada é:

Passo 3

Para encontrar a imagem de , precisamos determinar o espaço gerado pelas colunas da matriz . Basicamente, vamos ver quais vetores podemos obter combinando linearmente as colunas de .

Passo 4

Vamos colocar a matriz em forma escalonada para identificar as colunas que formam a base da imagem:

Passo 5

Observamos que as três primeiras colunas são pivôs, ou seja, elas são independentes e formam a base da imagem. Portanto, a base de é formada pelos vetores das colunas originais correspondentes:

Passo 6

A dimensão da imagem é igual ao número de vetores na base, que neste caso são 3 vetores. Então, .

Passo 7

Agora, vamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem .

Passo 8

Isso significa resolver o sistema homogêneo:

Passo 9

Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Subtraindo a segunda equação da terceira:
Comparando as duas expressões para :
Substituindo na segunda equação:

Passo 10

Assim, todas as soluções do sistema são dadas por:

Resposta

a) A base de é e a dimensão de é 3.
b) A base de é e a dimensão de é 1.

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Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui eixo o como principal (de simetria) e passa pelo ponto . Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
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a)