Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
-4 x+y^2-4 y+8=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com parábolas e descobrir três coisas importantes: o foco, o vértice, a equação da diretriz e também construir o gráfico da parábola dada pela equação:
-4x + y^2 - 4y + 8 = 0
Vamos precisar lembrar como identificar essas partes da parábola e colocar a equação numa forma mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação do vértice e dos outros elementos. Vamos isolar os termos com -4x + y^2 - 4y + 8 = 0 e completar o quadrado. A equação original é:
y^2 - 4y = 4x - 8
Vamos mover o (-42)^2 = 4 para o outro lado:
y^2 - 4y + 4 = 4x - 8 + 4
Agora, completamos o quadrado para o termo em (y - 2)^2 = 4x - 4 . Pegamos o coeficiente de (y - 2)^2 = 4(x - 1) , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor do lado esquerdo:
Isso simplifica para:
E podemos reescrever como:
Agora, a equação está na forma padrão da parábola.

Passo 3

A forma padrão que obtivemos é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Onde (y - 2)^2 = 4(x - 1) é o vértice da parábola e indica a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar:
  • então
Então, o vértice é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o foco. O foco está a uma distância Foco = (h + p, k) = (1 + 1, 2) = (2, 2) do vértice na direção para a qual a parábola abre. Como e a parábola está na forma , ela abre para a direita.
Então, o foco está a 1 unidade à direita do vértice:

Passo 5

Vamos determinar a equação da diretriz. A diretriz é uma linha reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola e está a uma distância x = h - p = 1 - 1 = 0 do vértice, mas na direção oposta à abertura da parábola.
Como a parábola abre para a direita, a diretriz estará à esquerda do vértice, a uma distância x = 0 :
Então, a equação da diretriz é:

Passo 6

Por último, vamos construir o gráfico da parábola. Sabemos que:
  • O vértice está em
  • O foco está em
  • A diretriz é a linha
A parábola abre para a direita, com o vértice deslocado para . Podemos desenhar o eixo de simetria passando pelo vértice e pelo foco, que é a linha horizontal . A diretriz é uma linha vertical à esquerda do vértice, em .

Resposta

  • Vértice:
  • Foco:
  • Equação da diretriz:
  • Gráfico: Uma parábola que abre para a direita, com vértice em , foco em e diretriz na linha .

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