Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com parábolas e descobrir três coisas importantes: o foco, o vértice, a equação da diretriz e também construir o gráfico da parábola dada pela equação:
Vamos precisar lembrar como identificar essas partes da parábola e colocar a equação numa forma mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação do vértice e dos outros elementos. Vamos isolar os termos com
e completar o quadrado. A equação original é:
Vamos mover o
para o outro lado:
Agora, completamos o quadrado para o termo em
. Pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor do lado esquerdo:
Isso simplifica para:
E podemos reescrever como:
Agora, a equação está na forma padrão da parábola.
Passo 3
A forma padrão que obtivemos é:
Onde
é o vértice da parábola e
indica a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar:
-
-
-
então
Então, o vértice é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o foco. O foco está a uma distância
do vértice na direção para a qual a parábola abre. Como
e a parábola está na forma
, ela abre para a direita.
Então, o foco está a 1 unidade à direita do vértice:
Passo 5
Vamos determinar a equação da diretriz. A diretriz é uma linha reta perpendicular ao eixo de simetria da parábola e está a uma distância
do vértice, mas na direção oposta à abertura da parábola.
Como a parábola abre para a direita, a diretriz estará à esquerda do vértice, a uma distância
:
Então, a equação da diretriz é:
Passo 6
Por último, vamos construir o gráfico da parábola. Sabemos que:
- O vértice está em
- O foco está em
- A diretriz é a linha
A parábola abre para a direita, com o vértice deslocado para
. Podemos desenhar o eixo de simetria passando pelo vértice e pelo foco, que é a linha horizontal
. A diretriz é uma linha vertical à esquerda do vértice, em
.
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz:
- Gráfico: Uma parábola que abre para a direita, com vértice em
, foco em e diretriz na linha .
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Determine se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
a)
a)
Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui eixo o
como principal (de simetria) e passa pelo ponto
. Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Vértice: V( 0,0 ); diretriz:
Determine a equação reduzida da parábola que passa pelos pontos
e
. A parábola tem o eixo
como principal (de simetria). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.